Bonjour,
ton équation différentielle est \(\dfrac{\text{d}T(t)}{\text{d}t}=-r(T(t)-T_{env})\), ce qui donne en développant :
\(\dfrac{\text{d}T(t)}{\text{d}t}=-r(T(t)+ rT_{env})\), ce qui donne en utilisant des notations mathématiques :
\(y'+ry=tT_{env}\), avec \(y(0)=T(0)=T_0\)
Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, du type \(y'+ay=b\).
Tu commences par résoudre l'équation homogène associée : \(y'+ry=0\), et tu trouves \(y(t)=k\text{e}^{-rt}\), avec \(k\in\mathbb{R}\).
Ensuite, tu recherches une solution particulière de l'équation générale, en recherchant si une constante \(C\) peut-être solution :
\(C'+rC=rT_{env}\), soit \(C=T_{env}\).
Donc la solution générale est \(y(t)=k\text{e}^{-rt}+T_{env}\).
Comme tu sais que \(y(0)=T_0\), tu vas pouvoir obtenir la valeur de \(k\) :
\(y(0)=k\text{e}^{-r\times 0}+T_{env}=T_0\) soit \(k+T_{env}=T_0\) donc \(k=T_0-T_{env}\).
Ainsi on a bien \(y(t)=(T_0-T_{env})\text{e}^{-rt}+T_{env}\).
Est-ce plus clair ?
Bonne continuation

bonjour
concernant le refroidissement de newton j'aimerais savoir comment nous passons de cette formule : dT(t)dt=−r(T−Tenv) a cette formule : T(t)=Tenv+(T0−Tenv)exp⁡(−rt)
merci d'avance pour votre réponse
bonne journée

Bonjour,
Normalement, la variable \(t\) désigne la durée en heures.
Bonne continuation

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre retour et vos conseils, que j'ai bien notés.
Après avoir relu la loi de refroidissement de Newton, j'ai constaté que le temps est indiqué en minutes. Dois-je comprendre qu'un résultat de 1,75 signifie que la personne est décédée 1 minute et 45 secondes plus tôt ? Ou bien puis-je considérer que t est en heures, car autrement mon résultat n'aurait pas de sens ?
Bonne après-midi

Bonjour,
si tu creuses encore le sujet, tu devrais constater que la formule de Henssge reposent sur les principes physiques de la loi de refroidissement de Newton mais qu'elles ont été établies de manière empirique (par l'étude de cas cliniques) pour prendre en compte les spécificités du refroidissement d'un cadavre humain. Elle s'appuie sur un diagramme (nommogramme) qui permet d'estimer graphiquement un intervalle probable de décès.
Une ouverture possible pour ton grand oral pourrait être cela : comment les scientifiques ont développé des outils permettant d'obtenir des résultats sans calculatrice ni calcul compliqué, et pour autant d'une précision suffisante dans un domaine donné.
Tu peux aussi faire le lien avec les tables de logarithmes qui permettaient de faire des calculs plus facilement à l'époque où il n'y avait pas de calculatrice.
Bonne continuation

Bonjour,

Je me permets de revenir vers vous car j'ai encore des questions. En effet, pour mon grand oral, j'ai parlé de la formule de Claus Henssge et j'avais trouvé un résultat de 6,65. Avec les mêmes températures, j'ai décidé d'utiliser une autre technique pour enrichir mon oral. J'ai utilisé la loi de refroidissement de Newton que j'avais déjà aperçue dans un de mes exercices et donc j'ai pu m'en inspirer pour être sûr de la résolution. J'ai trouvé un résultat qui vaut 1,75. J'obtiens donc deux résultats totalement différents et ne sais pas quoi faire. Faut-il que je n'utilise qu'une méthode, mais mon oral prendrait alors moins de temps ? Dois-je quand même faire le parallèle entre les deux résultats ?

Merci pour votre aide

Bonjour,
pas mal de choses ont déjà été dites à ce sujet, je te conseille de reprendre le fil de discussion, il y a notamment un fichier GeoGebra qui peut t'aider.
Pour la loi de refroidissement de Newton, on obtient la formule en résolvant une équation différentielle où \(T_{env}\) est la température environnante ou température ambiante (notée aussi \(T_a\) dans le fil).
Bonne continuation et n'hésite pas à nous recontacter pour d'autres précisions

Bonjour, je travaille également sur ce sujet et j'ai 3 questions à vous poser. J'ai essayé de trouver sur quelle intervalle était définie la fonction bi-exponentielle de Henssge afin de trouver ses limites et montrer qu'elle est décroissante. J'ai trouvé qu'elle tendait vers 0 en plus l'infini. Mais est elle définie sur [-infini;+infini] ? Et admettons que la température environnementale soit négative, comment pourrait-on expliquer que la fonction tend vers 0? Aussi j'étudie la loi de refroidissement de Newton mais je ne comprends pas comment on trouve la solution de l'équation qui est T(t)=Tenv+(T0-Tenv)e^-rt et surtout d'où vient ce Tenv qui est additionné...
Merci d'avance !

Bonjour lou-anne,
comme dit précédemment la formule est un peu compliquée pour résoudre l'équation avec les outils du lycée.
Il est préférable de passer par une estimation à l'aide d'un graphique ou du menu table de la calculatrice ou en utilisant un tableur.
Le tableur te permettra d'avoir un tableau de valeur, pour différentes valeurs de t tu auras la valeur de la température et ainsi tu auras une valeur approchée de t pour la température souhaitée.
SoS-math

Bonjour,
Je fais moi aussi mon grand oral sur ce sujet. j'ai donc essayé de résoudre l'équation Tcorps-Tambiant/37,2-Tambiant = 1,25e**-kt - 0,25e**-5kt. J'ai donc essayé avec plusieurs donnée différentes afin de trouver t mais c'est la même chose a chaque fois, ça me donne 0t = quelque chose. Je suis donc bloqué et je ne comprend pas pourquoi il ne faut pas isoler t alors que c'est ce que nous cherchons. De plus pouvez vous éclaircir un peu quand vous dites qu'il faut faire un tableau de valeur ou une courbe.
Merci d'avance pour votre réponse.

Bonjour Marie,

Le résultat obtenue est bien l'écriture décimale de l'heure, soit \(11,19 \text{ h} =11 +\frac{19}{100} \text{ h} =11 \text{ h} + \frac{19}{100}\times 60 \text{ min} \).

Je te laisse finir.
A bientôt sur SoS-Math

Bonjour,
Merci beaucoup pour votre réponse et votre aide !
J'avais essayé de le représenter graphiquement, mais je n'étais pas certaine.
Une dernière petite question : si nous trouvons 11,19 cela équivaut-il à 11h31 ? Ou le résultat est-il déjà converti, ce qui signifie que la personne est décédée 11 heures et 19 minutes avant 21h ?
Merci et Cordialement

Bonjour,
en effet, je rejoins mon collègue : la formule est un peu compliquée pour résoudre l'équation avec les outils du lycée.
Il vaut mieux passer par une estimation à l'aide d'un graphique ou du menu table de la calculatrice.
Avec GeoGebra on obtient 11,19 : Bonne continuation

Bonjour Marie,
tu ne dois pas extraire \(t\) pour résoudre l'équation tu dois utiliser un tableau de valeur (ou tracer la courbe) pour évaluer la valeur de \(t\).
De plus si tu calcules \(k\) pour \(M\) = \(50 kg\) avec la formule ci-dessous tu dois trouver environ : \(0,083\)
\(k=\dfrac{1,285}{M^{0,625}}-0,0284\)
Bonne continuation
SoS-math

Bonjour,
Je fais le meme sujet et je parle donc de la formule du Dr Clauss Henssge. Pour mon oral j'aimerais faire un exemple avec Tc= 30°C Ta=23°C et M=50Kg
J'ai donc commencé par calculer k qui me donnait 7/14,2 environ égal à 0,0827. J'ai remplacé toutes les données dans la formule et commencé un développement, malheureusement je n'arrive pas à trouver t car je ne sais pas comment l'isoler. Si quelqu'un pourrait me dire comment faire ou même me donner une piste, je serais ravie.

Merci et bonne fin d'après-midi.

Cordialement