Bonjour,
pour essayer de donner du sens à tous les termes de ta diapositive, je m'appuie sur un diaporama trouvé sur internet
Dans les questions précédentes, on t'a parlé de lagrangien qui peut être pensé comme un outil qui va permettre la résolution de problèmes d’optimisation sous contrainte.
Pour pouvoir utiliser le lagrangien \(L\), il faut vérifier certaines conditions, ce sont les conditions de premier ordre (la notation CPO) de ton diaporama
• Les CPO permettent de caractériser les potentielles solutions au problème d’optimisation
• On parle de premier ordre car elles font intervenir les dérivées premières du Lagrangien (et donc de la fonction objectif)
Dans ton cas, on a une fonction de demande \(P_t=a-bQ_t\), où \(Q_t\) est la quantité de ressources disponible à la période \(t\), \(a\) et \(b\) sont des constantes positives.
La fonction de coût est \(C(Q_t)=cQ_t\) avec \(c\) constante positive.
Le multiplicateur de Lagrange issu du lagrangien est noté \(\lambda\).
La recherche de l'optimum de la fonction de demande sous la contrainte de la ressource restante \(X\) : \(Q_1=X-Q_0\)
On applique les conditions de premier ordre :
- \(\dfrac{\partial L}{\partial Q_0}=0\), ce qui mène à \(\lambda =P_0-\dfrac{\partial C_0}{\partial Q_0}\)
- \(\dfrac{\partial L}{\partial Q_1}=0\), ce qui mène à \(\lambda(1+r) =P_1-\dfrac{\partial C_1}{\partial Q_1}\)
- \(\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0\), ce qui donne \(Q_1=X-Q_0\)
Dans ton cas, cela donne :
- \(\dfrac{\partial L}{\partial Q_0}=0\), ce qui mène à \(\lambda =P_0-\dfrac{\partial C_0}{\partial Q_0}=a-bQ_0-c\)
- \(\dfrac{\partial L}{\partial Q_1}=0\), ce qui mène à \(\lambda(1+r) =P_1-\dfrac{\partial C_1}{\partial Q_1}=a-bQ_1-c\)
- \(\dfrac{\partial L}{\partial \lambda}=0\), ce qui donne \(Q_1=X-Q_0\)
En faisant la somme membre à membre des deux premières égalités, on a :
\(\lambda(1+1+r)=2(a-c)-b(Q_0+Q_1)\) et comme \(X=Q_0+Q_1\) d'après la 3., on a \(\lambda(2+r)=2(a-c)-bX\) soit en divisant par \(2+r\) :
\(\lambda =\dfrac{2(a-c)-bX}{2+r}\)
Ensuite, reprend la relation 1. qui nous donne en isolant \(Q_0\) : \(-bQ_0=\lambda +c-a\) soit en divisant par \(-b\) :
\(Q_0=\dfrac{a-c-\lambda}{b}\)
On réinjecte l'expression de \(\lambda\) dans cette expression :
\(Q_0=\dfrac{a-c-\dfrac{2(a-c)-bX}{2+r}}{b}\). On multiplie ensuite le numérateur et le dénominateur par \((2+r)\) :
\(Q_0=\dfrac{(a-c)(2+r)-(2(a-c)-bX)}{b(2+r)}\)
On supprime les parenthèses au numérateur et on factorise par \((a-c)\) :
\(Q_0=\dfrac{(a-c)[(2+r)-2]+bX)}{b(2+r)}\) soit ce qui est demandé :
\(Q_0=\dfrac{r(a-c)+bX)}{b(r+2)}\)
J'ai une question : dans quelle formation est-tu ? Ces cours ne sont-ils pas accompagnés de travaux dirigés ?
Bonne continuation
