Bonjour,
Ta fonction n'est pas injective car il existe (au moins) deux réels distincts qui ont la même image, par exemple \(0{,}5\) et \(2\).
Ta fonction n'est pas surjective car tout réel n'a pas d'antécédent. Par exemple \(2\) n'a pas d'antécédent par \(f\), il suffit de résoudre \(f(x)=2\) qui est équivalente à \(\dfrac{2x}{1+x^2}=2\), soit \(2x=2(1+x^2)\) donc \(x^2-x+1=0\) : cette équation du second degré n'a pas de solution (à vérifier avec un calcul de discriminant).
Pour la surjectivité dans l'intervalle \([-1\,;\,1]\), il faut résoudre pour \(y\) fixé, l'équation \(f(x)=y\), soit \(\dfrac{2x}{1+x^2}=y\) donc \(2x=y+yx^2\)
soit \(\ldots x^2-\ldots x+\ldots=0\).
Si \(y=0\), il y a une solution \(x=\ldots\)
Sinon, on a une équation du second degré en \(x\) dont le discriminant vaut \(\Delta = .... \geqslant 0\) lorsque \(y\in[-1\,;\,1]\).
Ainsi l'équation a au moins une solution dans tous les cas donc la fonction admet au moins un antécédent pour tout \(y\in[-1\,;\,1]\) et elle est bien surjective sur cet intervalle.
Pour l'injectivité je te laisse faire : il suffit de montrer que si \(f(x)=f(y)\) alors \(x=y\).
Bonne continuation

Bonjour tous le monde,
Alors voilà j'ai un DM à rendre sur les fonctions réciproques. Matière que je maîtrise mais j'ai néanmoins du mal
J'ai une fonction : 2x/1+x² et l'on me demande de
● Dire si elle est invective ? Surjective ? Ou bien les deux
● Montrer que l'ensemble image f = [-1;1] c'est-à-dire que pour tout y appartenant à cet intervalle il existe un x appartenant au réel tels que f(x) = y
● montrer que sa restriction g : [-1;1] --> [-1;1] : x --> f(x) est bijective

J'ai réalisé une étude complète de ma fonction et je l'ai représentée mais maintenant je suis dans le flou, j'aurais besoin d'une piste s'il vous plaît
Merci d'avance