par sos-math(21) » dim. 12 sept. 2021 11:15
Bonjour,
pour l"hérédité, comme l'a dit mon collègue, il faut d'abord faire le lien entre \(2^k\) et \(2^{k+1}\). L'exposant d'une puissance compte le nombre de facteurs du même nombre que l'on multiplie entre eux. donc \(2^k=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k\,\text{facteurs}}\)
et \(2^{k+1}=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k+1\,\text{facteurs}}\) donc on a bien \(2^{k+1}=2^k\times 2\) donc si on suppose pour l'hérédité qu'à un certain rang \(k\geqslant 4\), on a \(2^k\geqslant k^2\) (hypothèse de récurrence), alors en multipliant tout par 2, on a
\(2\times 2^{k}\geqslant 2k^2\) soit \(2^{k+1}\geqslant 2k^2\).
Il reste ensuite à prouver que \(2k^2\geqslant (k+1)^2\).
Une manière de le prouver est de former la différence \(2k^2-(k+1)^2\) et de prouver que cette différence est positive.
Je te laisse étudier le signe de cette expression pour \(k\geqslant 4\).
Bonne continuation
Bonjour,
pour l"hérédité, comme l'a dit mon collègue, il faut d'abord faire le lien entre [TeX]2^k[/TeX] et \(2^{k+1}\). L'exposant d'une puissance compte le nombre de facteurs du même nombre que l'on multiplie entre eux. donc \(2^k=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k\,\text{facteurs}}\)
et \(2^{k+1}=\underbrace{2\times 2\times \ldots\times 2}_{k+1\,\text{facteurs}}\) donc on a bien \(2^{k+1}=2^k\times 2\) donc si on suppose pour l'hérédité qu'à un certain rang \(k\geqslant 4\), on a \(2^k\geqslant k^2\) (hypothèse de récurrence), alors en multipliant tout par 2, on a
\(2\times 2^{k}\geqslant 2k^2\) soit \(2^{k+1}\geqslant 2k^2\).
Il reste ensuite à prouver que \(2k^2\geqslant (k+1)^2\).
Une manière de le prouver est de former la différence \(2k^2-(k+1)^2\) et de prouver que cette différence est positive.
Je te laisse étudier le signe de cette expression pour \(k\geqslant 4\).
Bonne continuation