par sos-math(21) » mar. 26 avr. 2022 20:51
Bonjour,
C'est un peu compliqué pour un niveau première.
Ta première racine \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) est supérieure à 1 donc il n'y a pas de valeur possible pour le cosinus.
En revanche, pour \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\), tu peux obtenir des solutions.
L'équation \(\cos(2x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) a deux solutions sur \([-\pi\,;\, \pi]\) : \(2x_1=\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\), et \(2x_1=-\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\).
Donc dans l'intervalle \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), il n'y a qu'une intersection : \(x_1=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\approx 1,12\). Donc la fonction change de signe à cette valeur. Pour retrouver le signe sur cet intervalle, sans rentrer dans des considérations trop avancées, tu peux te contenter de regarder l'image de 0 : \(f(0)=1\) donc la fonction est positive avant la racine et négative après.
Dans quel contexte te pose-t-on cette question (qui est loin d'être évidente) ?
Bonne continuation
Bonjour,
C'est un peu compliqué pour un niveau première.
Ta première racine \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) est supérieure à 1 donc il n'y a pas de valeur possible pour le cosinus.
En revanche, pour \(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\), tu peux obtenir des solutions.
L'équation \(\cos(2x)=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\) a deux solutions sur \([-\pi\,;\, \pi]\) : \(2x_1=\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\), et \(2x_1=-\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\).
Donc dans l'intervalle \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), il n'y a qu'une intersection : \(x_1=\dfrac{1}{2}\arccos\left(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\approx 1,12\). Donc la fonction change de signe à cette valeur. Pour retrouver le signe sur cet intervalle, sans rentrer dans des considérations trop avancées, tu peux te contenter de regarder l'image de 0 : \(f(0)=1\) donc la fonction est positive avant la racine et négative après.
Dans quel contexte te pose-t-on cette question (qui est loin d'être évidente) ?
Bonne continuation