par sos-math(21) » mer. 19 janv. 2022 21:20
Bonjour,
pour le début, il faut se servir de la périodicité de la fonction sinus.
Pour tout réel \(x\),
\(|f(x+2\pi)-f(x)|\leqslant|\sin(x+2\pi)-\sin(x)|\).
Or \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\) par périodicité de la fonction sinus donc le membre de droite vaut 0 et donc le membre de gauche aussi car on a
\(0\leqslant |f(x+2\pi)-f(x)|\leqslant 0\).
Donc \(f(x+2\pi)=f(x)\) pour tout réel \(x\), ce qui justifie bien que la fonction soit périodique de période \(2\pi\).
Pour la continuité, on fixe un réel \(a\), on a alors pour tout réel \(x\) :
\(|f(x)-f(a)|\leqslant |\sin(x)-\sin(a)|\).
Lorsque \(x\to a\), par continuité de la fonction sinus, on a \(\lim_{x\to a}\sin(x)-\sin(a)=0\) donc en passant à la limite dans l'inégalité, on obtient encore \(\lim_{x\to a}|f(x)-f(a)|=0\) ce qui prouve que \(lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) et établit bien la continuité de \(f\) en \(a\).
Pour la dérivabilité c'est la même chose mais avec \(\left|\frac{f(x)-f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}\right|\leqslant \left|\frac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}\right|\) pour \(x\neq \dfrac{\pi}{2}\)
En faisant tendre \(x\) vers \(\dfrac{\pi}{2}\), le membre de droite tend vers \(\sin'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Cela prouve encore une fois que le taux d'accroissement a une limite et que celle-ci vaut 0 donc la fonction \(f\) est dérivable en \(\dfrac{\pi}{2}\) et que sa dérivée vaut 0 en \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Cet exercice me paraît difficile pour un niveau première....
Bonne continuation
Bonjour,
pour le début, il faut se servir de la périodicité de la fonction sinus.
Pour tout réel \(x\),
\(|f(x+2\pi)-f(x)|\leqslant|\sin(x+2\pi)-\sin(x)|\).
Or \(\sin(x+2\pi)=\sin(x)\) par périodicité de la fonction sinus donc le membre de droite vaut 0 et donc le membre de gauche aussi car on a
\(0\leqslant |f(x+2\pi)-f(x)|\leqslant 0\).
Donc \(f(x+2\pi)=f(x)\) pour tout réel \(x\), ce qui justifie bien que la fonction soit périodique de période \(2\pi\).
Pour la continuité, on fixe un réel \(a\), on a alors pour tout réel \(x\) :
\(|f(x)-f(a)|\leqslant |\sin(x)-\sin(a)|\).
Lorsque \(x\to a\), par continuité de la fonction sinus, on a \(\lim_{x\to a}\sin(x)-\sin(a)=0\) donc en passant à la limite dans l'inégalité, on obtient encore \(\lim_{x\to a}|f(x)-f(a)|=0\) ce qui prouve que \(lim_{x\to a} f(x)=f(a)\) et établit bien la continuité de \(f\) en \(a\).
Pour la dérivabilité c'est la même chose mais avec \(\left|\frac{f(x)-f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}\right|\leqslant \left|\frac{\sin(x)-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)}{x-\dfrac{\pi}{2}}\right|\) pour \(x\neq \dfrac{\pi}{2}\)
En faisant tendre \(x\) vers \(\dfrac{\pi}{2}\), le membre de droite tend vers \(\sin'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Cela prouve encore une fois que le taux d'accroissement a une limite et que celle-ci vaut 0 donc la fonction \(f\) est dérivable en \(\dfrac{\pi}{2}\) et que sa dérivée vaut 0 en \(\dfrac{\pi}{2}\) : \(f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\)
Cet exercice me paraît difficile pour un niveau première....
Bonne continuation