Suites et Limites -exo de classes prépa

[eleve86]

Bonjour, notre professeur nous a donné un DM fondé sur des exercices de classes préparatoires et je n'y arrive pas ..
Voici l'énoncé & la première question où je bloque pour le moment :

Soit a,b,c et d quatre nombres réels ( cdifférent de 0). On définit la suite (Un) n appartenant au entiers naturels par :

Uo appartient à R et U(n+1) = aUn+b / cUn+d

Et on suppose que pour tout n appartenant aux entiers naturels, cUn+d est différent de O

Soit f la fonction définie sur R privé de -d/c par f(x) = ax+b/cx+d

1) Montrer que si ad-bc=0 alors la suite (Un) avec n appartenant aux entiers naturels est constante à partir du rang 1.

Voici mes recherche :
J'ai essayer de calculer U(n+1) =Un mais je n'aboutis à rien .
Ensuite j'ai essayé de faire la récurrence à partir du rang 1 comme ceci :
- U1 : aUo+b/ cU0+d

- U2 = aU1+b/cU1+d
=[a(aUo+b/cUo+d)+b] / [c(aU0+b/cU0+d) + d]
Mais je n'aboutis en aucun cas à ad-bc à un moment donné ...

Pouvez vous m'aider ?
Merci.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mathilde,

La condition \(ad-bc=0\) doit aoir un rapport avec la dérivée de \(f\). Détermine cette dérivée \(f^,(x)\). Si \(f^,(x) = 0\) sachant que \(u_{n+1}=f(u_n)\), tu dois pouvoir conclure.

Bon courage

[eleve86]

Merci pour votre aide.

[eleve86]

Bonjour, Je reviens vers vous :

Par la suite dans l'exercice, ils me demandent que de monter que x= (ax+b)/(cx+d) est une équation qui est équivalente à une équation du seconde degré dont le discriminant = (d+a)²-4(ad-bc).

J'ai calculé ainsi :

ax+b = x(cx+d)
<=> ax+b-cx²-dx =0
<=> -cx² + x(a-d) +b = 0

Il s'avère que avec ceci le discriminant = (a-d)² - 4*-c*b = (a-d) + 4cb !
et cela ne correspond pas à ce qu'il me demande.

Juste pour vérifier, ai-je fait une erreur de calcul ou il y a t-il une ruse que je n'ai pas vu ?

Merci .

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
vos calculs sont justes.
Maintenant il vous reste à développer (d+a)²-4(ad-bc).
et vous trouverez la solution à votre question.
Bon courage

[eleve86]

Je reviens une fois de plus vers vous :

Voici ce que par la suite l'exercice me demande :

Interpréter graphiquement les solutions de l'équation
x=(ax+b)/(cx+d)

Mais comment faire sachant que a b c et d sont des nombres inconnus ?
De plus je n'arrive pas à tracer la courbe correspondante que ce soit sur Géogébra ou ma calculatrice.

Pouvez-vous m'aider ?
Merci.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Mathilde,

Je pense qu'il suffit de dire que c'est l'intersection d'une droite (à préciser) et d'une courbe (à définir aussi).

Bonne continuation

[eleve86]

Je ne vois pas comment les définir. Ce n'est pas très grave, Merci quand même .

J'ai prouvé dans une question, que x =(ax+b)/(cx+d) est équivalente à une équation du seconde degré dont le discriminant vaut (d+a)²-4(ad-bc)

Par la suite on me demande :

Étude des cas delta=0 et delta>0

a) On suppose que delta=0 et on note Y l'unique solution de l'équation.
Soit U0différentde y . On pose Vn= 1/Un-y
Montrer que (Vn) est définie et arithmétique de raison r=2c/a+d.

J'ai bien essayé de calculer Vn+1-Vn mais je n'aboutis à rien, il y a t-il une méthode ? Une fois que je la connaitrai je pourrai faire la même chose avec le cas ou delta>0 ( c'est la question d'après mais j'essayerais par la suite).

Merci de votre aide.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mathilde,

Pour la droite et la courbe il te suffit de donner leur équation.

As-tu \(v_n=\frac{1}{u_n}-y\) ou \(v_n=\frac{1}{u_n-y}\) ?

A tout de suite

[eleve86]

Très bien mais cela veut dire qu'il faut que je réduise l'expression de l'équation ?

As excusez-moi, j'ai Vn = 1/(UN-y).

[SoS-Math(11)]

Non, tu as deux fonctions \(f\) et \(g\) et leur courbes représentatives d'équations respectives \(y = f(x)\) et \(y = g(x)\) et tu dois chercher le point d'intersection à savoir résoudre l'équation \(f(x)=g(x)\).
Tu dois juste donner les équations des deux courbes celle du premier membre et celle du second membre.

Je regarde le calcul de \(v_{n+1}-v_n\) et essaie de te donner une piste.

A plus tard

[eleve86]

Merci, j'ai compris.

D'accord, et merci encore.

[SoS-Math(11)]

Pour le calcul de \(v_{n+1}-v_n\) il faut utiliser le fait que \(u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}\) réduire au même dénominateur, développer le numérateur et garder le dénominateur factoriser.
Ensuite comme \(cy^2+(d-a)y-b=0\) tu peux soustraire cette expression du numérateur, factoriser ce qui reste et simplifier la fraction.
Pense aussi que \(y=-\frac{d-a}{2c}=\frac{a-d}{2c}\), remplace \(y\) par cette valeur.

Bon courage pour tout ces calculs !

[eleve86]

J'ai commencé mes calculs, je m'embrouilles un peu mais je vais y arriver.
Une question : Voici mon début de calcul :

1/[(Un+1)-y] - 1/(Un-y) = 1/[{(aUn+b)/(cUn+d)} -y] - 1/(Un-y)

A ce moment là j'ai mis y sur le même dénominateur c'est à dire sur cUn+d et ensuite j'ai enlevé l'inverse au niveau des deux membres. Ai-je bien fait ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mathilde,

Cela me semble bien, tu dois arriver à : \(\frac{cu_n^2+(d-a)u_n-b}{(au_n+b-y(cu_n+d))(u_n-y)}\)
Traite le numérateur comme je t'ai indiqué dans ma précédente réponse, tu dois pouvoir mettre \(u_n-y\) en facteur et simplifier la fraction.
Ensuite tu traites \((au_n+b-y(cu_n+d)\) en remplaçant \(y\) par sa valeur. Tu auras à utiliser aussi le fait que Delta est nul c'est à dire que \(4(ad-bc)=(a+d)^2\).
A la fin tu dois pouvoir mettre \(2c\) en facteur au numérateur et \(a+d\) en facteur au dénominateur et si tu n'as pas fait d'erreur tu peux simplifier et il ne reste que \(\frac{2c}{a+d}\).

Bon courage