Etude d'une suite

[eleve87]

Bonsoir, voilà j'ai un exercice à faire pour jeudi et je bloque à partir d'une question :

Soit (Un) la suite définie par U0=2 et, pour tout entier naurel n, Un+1=3/2 x Un-1/2.

1) Calculer U1, U2, U3 ... Ici j'ai trouvé réciproquement 2,5 ; 3,25 ; 4,375.
2) La suite (Un) est elle arithmétique? géométrique ? Justifier ... ici j'ai prouvé qu'elle n'était ni l'une ni l'autre.
3) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de U20 à 10^-4 près ... là j'ai 3326,2567.
4) Soit (Vn) la suite définie sur N par : Vn=Un-1
a)Démontrer que (Vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison ... et là je bloque, J'ai trouvé V0 = 1 mais après ...

[sos-math(13)]

Bonsoir,

après il suffit d'enlever 1 à chaque terme de u pour avoir ceux de v.
De là, tu peux conjecturer qu'en effet elle est géométrique, et même trouver la raison en calculant le rapport des termes successifs de v.

Pour la démonstration, une possibilité est de calculer \(\frac{v_{n+1}}{v_n}\) de manière générale.
Pour cela, exprimer tout en fonction de u, puis le \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
Les calculs doivent se simplifier jusqu'à trouver une constante (qui sera la raison de la suite), ce qui prouvera que la suite est bien géométrique.

Bon courage.

[eleve87]

Ok, merci j'ai réussit ... La question d'après me demande d'exprimer Vn puis Un en fonction de n. Comment dois-je faire ?
Merci d'avance.

[sos-math(13)]

Comme \(v_n\) est géométrique, tu sais l'exprimer directement en fonction de n.
Et comme tu sais exprimer \(u_n\) en fonction de \(v_n\), tu peux finir.

Bon courage.