limites

[Jalil]

Bonsoir, j'ai des difficultés pour traiter cette question:

Lim [ x + (x+x1/2)1/2 ]1/2 – x1/2

(1/2 est en exposant càd cela représentent des racines carrées)

quand X tend vers + l'infini.

Merci pour l'aide.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
est ce que je traduis correctement : \(\lim_{x\to +\infty}\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\) :
Je te conseille comme c'est souvent le cas avec des formes indéterminées utilisant des racines carrées ,d'utiliser l'expression conjuguée
c'est à dire qu'on multiplie par \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+ \sqrt{x}\)
\(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}=\frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}}{1}=\)
\(\frac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)\times\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}{1\times\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}\right)}\)
et on utilise ensuite l'identité remarquable \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\) :
et on a alors :... je te laisse calculer et ensuite il te faudra encore factoriser...

[Jalil]

Bonjour!
c'est effectivement la bonne écriture de la limite!
Avant de poser le problème , j'avais dèja commencé avec votre méthode mais je n'ai pas vu ou cela pouvait aboutir.
je me suis arrêté à ce niveau :

Lim (x+x1/2)1/2 / [ x + (x+x1/2)1/2 ]1/2 + x1/2

Comment continuer?

Merci

[sos-math(21)]

Bonjour,
Effectivement, après calcul par l'expression conjuguée et simplification tu dois obtenir : \(\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{{x}+\sqrt{x+\sqrt {x}}}+\sqrt{x}}\) ensuite il faut factoriser par \(\sqrt{x}\) :
\(\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{{x}+\sqrt{x+\sqrt {x}}}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{\sqrt{x}}{x}})}{\sqrt{x}(\sqrt{1+\frac{\sqrt{x+\sqrt {x}}}{x}}+1)}\)
tu simplifies par \(\sqrt{x}\) : et tu dois trouver .....