suites adjacentes

[Invité]

bonjour ,

j'ai fait la premiére question d'un exercice mais je ne suis absolument pas sur de mon resultat.
mais je ne vois pas d'autree facon. voici l'exercice :

les suites (un)et (vn) sont definies par : u0=1 et v0=2 ; un+1=(un+vn)/2 ; vn+1=racine de un*vn.
a)montrer que vn<un puis que un+1-vn+1<(un-vn)/2

voila ce que jai mis :

un+1-vn+1<(un-vn)/2
(un+vn)/2-(racinede vn*vn)<un-vn
un+vn-(racinede vn*vn)<un-vn
un+vn<un-vn+(racinede vn*vn)
2vn<racine de un*vn
2vn/racinede vn<racine de un
racine de vn<racine de un
vn<un

voila jai du mal aussi a demontrer que un et vn sont adjacente je me doute kil faut montrer qu'elles convergent tte les 2 mais je ne trouve pas

cassandre


[/tex]

[SoS-Math(4)]

Bonjour ,

Il y a des erreurs dans votre calcul, et vous ne pas devez démarrez votre calcul avec le résultat à montrer. Faites plutot la différence :
Je vous montre : $\U_{n+1}-\V_{n+1}-\frac{\U_{n} -\V_{n}}{2}-=\frac{\U_{n} +\V_{n}}{2}-\sqrt{\U_{n}\V_{n}}-\frac{\U_{n} -\V_{n}}{2}=\V_{n}-\sqrt{\U_{n}\V_{n}}}$

Je suppose que vous avez montré que : $\V_n<U_n$pour n>1 alors $(\V_n)^2<\U_n\V_n$ alors $\V_{n}<\sqrt{\V_n\U_n}$alors $\V_{n}-\sqrt{\V_n\U_n}<0$ donc
$\U_{n+1}-\V_{n+1}-\frac{\U_{n} -\V_{n}}{2}<0$ donc $\U_{n+1}-\V_{n+1}<\frac{\U_{n} -\V_{n}}{2}$

Essayer d'utiliser ce résultat pour montrer que : $\U_n-\V_n < \frac{\U_0-V_0}{2^n}$ et ensuite que $lim(\U_n-\V_n)=0$
Ensuite montrez que U est décroissant et V croissant pour n>1, et vous aurez montré que les suites sont adjacentes.
bon courage
sosmaths