DM: fonctions

[Louise]

Bonsoir,
J'ai un devoir maison pour la rentrée, facultatif, que je n'arrive pas a faire, je ne sais pas vraiment par où commencer, pourriez vous m'aider s'il vous plait ? Merci d'avance.
Exercice:
On considère, pour tous nombres réels a et b, la fonction f définie sur l'intervaelle [-b;+infini[ par f(x)=a- racine(x+b)
On dit que deux entiers relatifs u et v sont échangeables, s'il existe au moins un couple (a,b) de nombres réels tels que f(u)=v et f(v)=u
1) Montrer que 2 et 3 sont échangeables.
2) Les nombres 4 et 7 sont-ils échangeables ?
3) A quelle condition deux entiers relatifs u et v sont ils échangeables ?

Je sais donc que a-racine(u+b)=v
et a-racine(v+b)=u
Mais je sais vraiment pas comment faire.
Merci beaucoup,
A bientôt,
Louise

[sos-math(22)]

Bonjour Louise,
Peut-être n'as-tu pas bien compris la définition "u et v échangeables". Prenons la première question.
2 et 3 sont échangeables si et seulement si il existe au moins un couple (a,b) de nombres réels tels que f(2)=3 et f(3)=2.
Or, f(2)=3 et f(3)=2 équivaut à \(a-\sqrt{2+b}=3\) et \(a-\sqrt{3+b}=2\).
Il te faut donc montrer qu'il existe un couple (a;b) de nombres réels vérifiant ces deux conditions.
Bonne continuation.

[Louise]

Bonsoir,
J'avais pas vraiment compris, en effet, merci pour l'explication.
Mais donc comment je dois faire pour trouver ce couple (a,b) ?

[sos-math(22)]

Tu dois donc avoir \(3+\sqrt{2+b}=2+\sqrt{3+b}\). A partir de là, tu détermines \(b\) puis tu pourras en déduire \(a\).
Bonne continuation.

[Louise]

Bonsoir,

Je peux faire ça ?
f(2)=a-racine(2+b)=3
et f(3)=a-racine(3+b)=2
On a alors
racine(2+b)=a-3
racine(3+b)=a-2
On a donc un système qui est :
2+b=(a-3)²
3+b=(a-2)²

b=a²-6a+7
b=a²-4a+1

Donc -6a+7=-4a+1
2a=6
a=3

Mais je sais pas quoi faire après, c'est juste ?
Merci

[sos-math(22)]

Bonsoir, Oui, c'est juste, mais il y avait plus simple en tenant compte de mon message précédent !
Tu peux maintenant déterminer b.
Bonne continuation.