bonsoir,
J' ai un problème de suite à résoudre mais je bloque.
voici mon problème:
on définit deux suites telles que :
a_(n+1)= (p*a_n + q*b_n)/(p+q)
et
b(n+1)= (q*a_n + p*b_n)/(p+q)
on supposera p>q> 0et b_0>a_0
Je dois montrer que ces deux suites sont adjacentes et calculer leur limite commune.
Mon raisonnement:
-Montrons que pour tout n de N, b_n>a_n (je l'ai réussi par récurrence sans grande difficulté)
-Déterminons les sens de variation de (a_n) et (b_n). Assez simple aussi je trouve (a_n) croissante et (b_n) décroissante.
- Ensuite je me suis dit que b_(n+1)-a_(n+1) = [(p-n)/(p+q)^(n-1)] (b_0-a_0)
Mais c'est ici où je bloque : je n'arrive pas prouver cela, j'ai essayé par récurrence, sans grand succès. Avez vous une idée?
Merci d'avance et bonne soirée :)
Suites
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SoS-Math(4)
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Re: Suites
Bonsoir,
On obtient : b(n+1)-a(n+1)=(b_n-a_n)(p-q)/(p+q)
Donc il faudrait montrer par récurrence que : b_n-a_n=(b0-a0)((p-q)/p+q))^n
Pour l'initialisation , c'est facile de montrer que c'est vraie pour n=1. Il suffit de calculer b1-a1.
Pour l'hérédité, on suppose que c'est vrai au rang k, donc que b_k-a_k=(b0-a0)((p-q)/p+q))^k
et on calcule b(k+1)-a(k+1) en fonction de bk-ak. le reste va tout seul.
Donc oui c'est un raisonnement par récurrence qu'il faut faire.
sosmaths
On obtient : b(n+1)-a(n+1)=(b_n-a_n)(p-q)/(p+q)
Donc il faudrait montrer par récurrence que : b_n-a_n=(b0-a0)((p-q)/p+q))^n
Pour l'initialisation , c'est facile de montrer que c'est vraie pour n=1. Il suffit de calculer b1-a1.
Pour l'hérédité, on suppose que c'est vrai au rang k, donc que b_k-a_k=(b0-a0)((p-q)/p+q))^k
et on calcule b(k+1)-a(k+1) en fonction de bk-ak. le reste va tout seul.
Donc oui c'est un raisonnement par récurrence qu'il faut faire.
sosmaths