suite et exponentielle

[aur]

Bonsoir,
dans un exercice, il y a une partie sur les suites que je n'arrive pas à faire,si vous pouviez m'aider rapidemment svp!:)
je mets les indices en italique ne sachant pas comment les mettre en indice sur le forum^^

On Considère les fonctions f1, f2, f3 définies sur R par
f1(x)=(x+1)e^-x f2(x)=-xe^-x f3(x)=(x-1)e^-x

Soit n un entier naturel
1) justifier que l'équation e^x=2^n admet dans R une solution unique xn
a l'aide de la calculatrice donner les arrondis à 10^-2 près de xn pour n=1, n=2 et 3 calculer e^-xn

2)on pose an=F(xn+1)-F(xn) avec F=f3-F1
calculer F(x) pour tout réel ^x, puis an en fontion de n. Quelle est la nature de la suite (an)?
calculer de 2 façons différentes la somme Sn=a0 +a1 +...+an, puis lim Sn quand n tend vers + l'infini

pour justifier que l'équation admet une solution unique, je ne sais pas trop comment faire....exp étant croissante, elle admet une solution solution mais c'est le 2^n qui m'embete^^
après je trouve xn=ln(2^n) et vous?
après je trouve F(x) =-2e^-x
mais après pour le reste...?
merci encore pour votre aide!

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

En effet c'est le fait que la fonction exponentielle soit dérivable, donc continue, strictement croissante sur l'ensemble des réels et strictement positive, qui te permet d'affirmer que la solution est unique puisque \(2^n\) est strictement positif.

Ok pour \(x_n=ln(2^n)=n ln(2)\).

Pour \(e^{-x_n}\) tu as \(e^{-ln(2^n)}\) tu dois pouvoir simplifier.

\(F(x) = f_3(x)-f_1(x)=(x-1)e^{-x}-(x+1)e^{-x}\) simplifie.

Ensuite pour \(a_n\) remplace \(x\) par \(x_n\) et utilise le résultat de la question1 : \(e^{-x_n}\).

Bon courage pour la suite

[aur]

Bonsoir,
donc je trouve F(x) =-2e^-x
sinn je trouve e^-xn=0,5 pour n=1, 0,25 pour n=2 et 0,125 pour n=3

et ensuite pour an je trouve 2*e-nln2(1-e-ln2)
ce doit être une suite géométrique de raison e-ln2, nn?
après pour trouver la somme de 2 façons différentes je ne vois pas...?
je sais juste utiliser une méthode, avec la formule de la somme d'une suite géométrique
ça donne Sn=2(1-e-ln2(n+1))=2(1-e-nln2-ln2)
et vous?et quelle est l'autre méthode svp?
mais quelle est la limite de ln?

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Simplifie ton expression \(e^{-ln2}=e^{ln(\frac{1}{2}})= ...\).
Cela va simplifier ton expression de la somme.
Le reste me semble correct, c'est pas facile à lire sans les notations usuelles.

Bonne fin d'exercice

[aur]

Bonjour,
oui désolée mais je ne sais pas comment on peut utiliser les signes mathématiques sur le forum??
sinn je ne vois pas comment on peut simplifier plus...?
et pouvez vous me dire quelle autre méthode faut il utiliser svp? et comment connaitre la limite de ln?
merci d'avance,!

[aur]

je vous reenvoie mes résultats avec des ^ pour les exposants pour que vous compreniez mieux:
et ensuite pour an je trouve 2*e^(-nln2)(1-e^(-ln2))
ce doit être une suite géométrique de raison e^(-ln2), nn?
après pour trouver la somme de 2 façons différentes je ne vois pas...?
je sais juste utiliser une méthode, avec la formule de la somme d'une suite géométrique
ça donne Sn=2(1-e^(-ln2(n+1)))=2(1-e^(-nln2-ln2))
et vous?et quelle est l'autre méthode svp?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aur,

Rappel :

Tu trouves \(a_n=-2e^{-(n+1)ln2}+2e^{-nln2}=-2e^{-ln2^{n+1}}+2e^{-ln2^n}= ...\)

Pour simplifier il faut utiliser les règles suivantes :
Pour tout x > 0, \({}-ln(x)=ln(\frac{1}{x})\) et \(e^{ln x}=x\).

SoSMath.

[aur]

ah ok merci c'est sur que ça simplifie le calcul! je trouve 1/2^n et vous? c'est donc une suite géométrique de raison 1/2 c ça?et pour la 2eméthode vous pouvez m'aider svp?

[SoS-Math(9)]

Aur,

C'est juste !
Je ne vois pas de 2ème méthode ! ?

SoSMath.