Fonctions d'offre et de demande

[Laura]

Bonjour,

J'ai bientôt un bac blanc. Afin de préparer,je m'exerce en faisant des exercices mais il n'y a pas de corriger. Serait-il possible de le faire? Voici l'énoncé avec mes réponses :

La fonction d'offre pour un produit de base est donnée par : f(q=0,5q²+10q+50 et la fonction de demande de ce même produit par : g(q)=200-10q+(500/2q+5) où la quantité q est exprimée en milliers d'objets et l'offre et la demande en euros par objet. On note Cf la courbe d'offre et Cg la courbe de la demande.

1/ a) Démontrer que f est croissante sur [0;+]
Je calcule la dérivée de f : f'(q)= q+10 D'où f'(q) est de la forme f'(q)=aq+b
Or,lorque le signe a est positive, la fonction est croissante sur [0;+~] Comme a=1 qui est positif, f est croissante sur [0;+~]

b) Déterminer le sens de variation de la fonction g.
je calcule sa dérivée : g'(q)=-10-(1000/(2q+5)²)
d'où (2q+5)² est positif et -10q est négatif et -1000 est négatif donc g(q) est croissante pour tout q

c) Etudier les limites de f et g en +~. Puis dresser les tableaux des variations de f et g.
lim f(q) = +~ et lim g(q)= 0+

d) Soit h la fonction définie sur [0;+ ] par : h(q)=f(q)-g(q)
Quel est le sens de variation de h? Quelle est la limite de h(q) quand q+?
h(q)=(0,5q²+10q+50)-(200-10q+500/(2q+5))=0,5q²+20q-150-500/(2q+5)=(2q+5)(0,5q²+20q_150)/(2q+5)=q^3+42,5q²-250x-750/(2q+5)
Je calcule sa dérivée : h'(q)= 4q^3+100q²+1425q+2750/(2q+5)²
4q^3+100q²+1425q+2750 est positive et (2q+5)² est positive. Par composée,h(q) est croissante.
lim h(q)= +

2/ a)Montrer que la droite D d'équation y= 200-10q est asymptote oblique à la courbe de demande.Je calcule la différence : 200-10q+500/(2q+5)-(200-10q)= 500/(2q+5)
Je calcule sa limite en + : lim 500/(2q+5)= 0+
Donc, la droite d'équation y=200-10q est asymptote a la courbe C au voisinage de +.

3/ a) Démontrer que l'équation h(q)=0 possède une unique solution a localisée dans l'intervalle [5;10]
Sur [5;10], la fonction cube q^3 est continue et strictement croissante et la fonction affine aq+b est continue et strictement croissante. Donc, le fonction est continue et strictement croissante sur [5;10].

[sos-math(21)]

Bonsoir,
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Bon courage, j'ai tout de même regardé, vos démarches sont correctes, c'est du bon travail au niveau du raisonnement mathématique.