Nombre complexes

[Antoine]

Bonsoir !
J'ai un petit problème au niveau d'un exercice sur les nombres complexes...

"Soit le polynôme P défini par P(z) = z^4 - 6z^3 + 24 z² - 18 z + 63"


1. a. Calculer P(iRac3) et P(-iRac3)
==> Dans les deux cas je trouve que c'est égal à 0

b. Déterminer un polynôme Q du second degré à coefficients réels tel que, pour tout z appartenant à C, on ait P(z) = (z² + 3) Q(z)
==> J'ai fait l'identification et tout le reste, j'ai trouvé Q(z) = z² - 6z + 21


2. Résoudre dans C l'équation P(z) = 0
==> Je trouve 4 solutions dont z1 = 3 - 2Rac3 i z2 = 3 + 2Rac3 i z3 = -iRac3 z4 = iRac3


3. On appelle A, B, C et D les points dont les affixes sont les solutions trouvées au 2.
Quelle est la nature du quadrilatère non croisé ainsi défini ?
==> Ici je n'ai pas compris ce qu'on me demande. Est-ce qu'on me demande la nature du quadrilatère ABCD ou d'un autre ?
En plus, en calculant zAB et zDC (AB et DC vecteurs), je trouve que AB = 2 DC (toujours en vecteurs). Je peux en faire quelque chose ?


Merci de votre aide si jamais vous avez une idée ^^

Bonne soirée
Antoine

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Antoine,

Tout me semble OK, c'est bien ABCD dont il s'agit et tu as bien \(\vec{AB}=2\vec{DC}\), donc tu as deux côtés opposés parallèles, mais pas les deux autres. Tu peux aussi chercher un axe de symétrie pour préciser la nature de ABCD.

Bonne fin d'exercice

[Antoine]

Bonsoir,

Est-ce que le fait que deux côtés opposés soient parallèles suffit pour prouver que cette figure est un trapèze ?

En vous remerciant,
Antoine

PS: Je ne vois pas comment chercher un axe de symétrie ?

[SoS-Math(11)]

Oui tout à fait.
Pour l'axe de symétrie pense que les solutions sont des complexes conjugués.

Bon courage

[Antoine]

Bonsoir,
En fait je n'ai pas encore vu ceci ^^

Mais merci beaucoup pour votre aide !

Bonne soirée
Antoine

[Antoine]

Bonjour,
Excusez-moi j'ai de nouveau un petit problème.

Comment puis-je justifier la nature du quadrilatère ABCD, sachant que oui j'ai trouvé AB = 2DC mais cette réponse peut aussi s'appliquer à un parallélogramme non ?
J'avais fait un exercice avec des points d'affixes différentes et je devais prouver qu'ABDC était un parallélogramme, or il suffisait de dire que AB = CD...
Le fait qu'il y ait un "2" change la nature du quadrilatère si j'ai bien compris ?

Par contre, est-ce que vous pensez que je dois justifier le fait que c'est un trapèze, uniquement avec le fait que deux côtés opposés sont parallèles et que les deux autres ne le sont pas...
Ou bien je dois aussi passer par l'axe de symétrie ?

Bonne journée
Antoine

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Antoine,

Un trapèze est un quadrilatère qui a deux côtés parallèles. Cela suffit donc.
Pour l'axe de symétrie, cela donne un trapèze particulier, cela rajoute une propriété, comme d'avoir un un angle droit qui donne un trapèze rectangle.

Bonne fin d'exercice