Phi/Nombre d'or

[Emm]

Bonjour,

Voici un exercice que je n'arrive pas à terminer.

On considère un carré ABCD de côté 10. Soit I le milieu de [AB]; le cercle de centre I et de rayon IC coupe en F la demi droite [AB).

1) On trace le rectangle AFED. On désigne phi par le rapport AF/AD. Montrer que le nombre phi vérifie l'égalité phi²= phi+1.
2) Montrer que EF/EC=phi
3) Tracer le carré BFGH où G appartient à [EF] et H appartient à [BC]. Calculer EC/EG.


Le 1) est fait, cependant je bloque déjà au 2) car pour EF/EC je n'obtiens pas AF/AD (soit phi) mais son opposé. Je ne sais pas ou est mon erreur. Aidez moi s'il vous plait. Merci.

[SoS-Math(25)]

Re bonjour Emma,

Tu trouves son opposé ou son inverse ?

Donne moi ton raisonnement et peut-être ainsi remarquer l'erreur.

A plus tard !

[Emma]

Re bonjour :).

Pour moi si EF/EC=phi alors EF/EC=AF/AD ?

Donc EF/EC= 10/(-5+V125)/10
=10x10/(-5+V125)
=100/-5+V125

Mais j'avais fait (-5+V125)/10 x 1/10 (ce qui est faux je pense).
Ca n'a aucun sens, peut être que je me suis trompée dans le calcul de EC ?

J'ai fait EC=(phi-1)xEF
=[(5+V125)/10 - 10/10]x10
=(-5+V125/10)x10
=-50+V125/100=-5+V125/10 ??

[SoS-Math(25)]

Bien,

Si je comprends bien :

Il y a une erreur au départ, dans ton rapport \(\frac{EF}{EC}\)

Tu as AD = BC = EF = 10 ; IC = \(\sqrt{125}\) donc IF = \(\sqrt{125}\) et BF = EC = \(\sqrt{125} - 5\) !!

Ainsi, \(\frac{EF}{EC} = \frac{10}{\sqrt{125} - 5}\) ... Es tu d'accord ?

Tu dois maintenant montrer que : EF/EC = AF/AD soit :

\(\frac{10}{\sqrt{125} - 5} = ? \frac{\sqrt{125} + 5}{10}\) Es tu d'accord ?

[Emma]

Oui !!

[Emma]

Mais du coup EF/EC n'est pas = à AF/AD ?

[SoS-Math(25)]

Et bien si !!

Tu dois démontrer l'égalité suivante :

\(\frac{10}{\sqrt{125} - 5} = \frac{\sqrt{125} + 5}{10}\)

Pour cela il y a une astuce :

On part du membre de gauche puis on multiplie le numérateur et le dénominateur par \((\sqrt{125} + 5)\) pour ne plus avoir de racine au dénominateur (On utilise l'IR3 : (a + b)(a - b) = ...)

Ta méthode n'est pas la plus simple mais elle est déjà bien entamée.

Il y a d'autres méthodes que la tienne pour démontrer ce résultat, tu peux regarder sur internet les rectangles d'or ... : http://lycees.ac-rouen.fr/bruyeres/maths/rectdor.html

(\(\frac{AF}{AD} = \frac{AB + BF}{AD} = \frac{AB}{AD} + \frac{BF}{AD} = ...\), puis il faut démontrer que \(\frac{1}{\phi} = \phi - 1\)...

Au revoir et bon courage.

[Emma]

Merci beaucoup pour votre aide !!!!!

Une dernière chose, mon égalité est EF/EC non pas BF/BC mais si je dis que BF=EC et que BC=EF est ce que cela suffit ?

[Emma]

Finalement j'ai changé les rapports.

[SoS-Math(25)]

Bien sur !

As-tu changé de méthode ?

Une petite rectification sur ta méthode :

Tu as \(\frac{AF}{AD} = \frac{\sqrt{125} + 5}{10}\) et \(\frac{EF}{EC} = \frac{10}{\sqrt{125} - 5}\)

Tu veux démontrer que ces deux fractions sont égales ?

Et bien pour montrer que \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\) on peut démontrer l'égalité des produits en croix. C'est-à-dire simplement démontrer que axd = bxc. Si c'est le cas alors les deux fractions sont égales !

[Emma]

Oui j'ai changé de méthode.

Ca donne cela (j'ai quelques doutes):

AF/AD=DE/EF=phi on a DC/EF+EC/EF=phi
et donc EC/EF =phi-1
Or 1/phi=phi-1 ainsi EC/EF=1/phi.
On a alors EF/EC=BC/EC=phi (??)

Voila, je pense qu'il y a quelques erreurs ?

[Emma]

En fin de compte la méthode avec les identités est plus simple !

[SoS-Math(25)]

Bravo !

Je ne vois pas d'erreur.

As-tu démontré que 1/phi = phi - 1 ?

C'est bien.

[Emma]

Je ne sais pas si je l'ai bien expliqué mais c'est écrit, sous forme de propriété.

[SoS-Math(25)]

Et la question est :" d'où vient cette propriété ?"

Si elle est donnée dans ton cours ou ton exercice alors c'est bon. Sinon, si elle vient de toi (ou d'ailleurs), il faut la démontrer ...