Etude d'une fonction avec exponentielle

[Benoit]

Bonjour, j'ai un petit exercice que j'ai du mal à finir, si quelqu'un aurait l'amabilité de m'aidez!
Soit f la fonction définie par \(f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\), et C sa courbe.
1) Déterminer l'ensemble de définition de f.
2) Montrer que I(0;0,5) est centre de symétrie de C.
3) Calculer la limite de f en -\(\infty\) puis +\(\infty\)(par symétrie?)
4) Etudier les variations de f.
5) Déterminer l'équation de la T tangente en I à C.
6) Etudier les variations de \(g(x)= \frac{1}{4}x +\frac{1}{2}- f(x)\).
7) Calculer g(0) puis déterminer la position relative de T à C.

Voila ce que j'ai fait:
1)f(x) est définie pour tout x non nul, \(e^{x}+1=0\)<=> \(e^{x}=-1\) Or c'est impossible puisque la fonction exponentielle est toujours positif. Donc la fonction est définie sur IR
2) Je sais que je dois trouver \(\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2}= b\). Je bloque!
3)\(\frac{e^{x}}{e^{x}+1}\)=\(\frac{e^{x}}{e^{x}(e^{-x}+1)}\)=\(\frac{1}{e^{-x}+1}\)
\(\lim_{x \to +\infty} e^{-x}=0\) donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{-x}+1}=1\) Donc \(\lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=1\)
\(\lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x}}{e^{x}+1}=0\)
4)La fonction f est dérivable sur IR comme quotient de fonctions dérivables sur IR
\(f^{,}=\frac{e^{x}(e^{x}+1)-e^{x}e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}}=\frac{e^{x}}{(e^{x}+1)^{2}} >0\) Puisque \(f^{,} > 0\) donc f(x) est croissante.
5) L'équation de la tangente T à la courbe au point d'abscisse 0, \(y=f^{,}(x-0)=f(0)=\frac{1}{4}x +\frac{1}{2}\)
Mais après je bloque!
Est-ce bon ce que j'ai fait?
Merci d'avance!

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

Tout semble bien.

Pour 2) il faut faire a=0.

pour 7) il faut calculer g'(x) et étudier son signe.
Tu dois trouver , après calculs, que g '(x) >=0 pour tout réel x.
Ensuite tu étudies les variations de g.

sosmaths

[Benoit]

Bonjour,
Mais pour la question 7, je ne comprends pas comment faire, car c'est différent de la question 6!

[Benoit]

Bonjour, je ne comprends pas comment faire la dernière question avec la position relative!

[sos-math(13)]

Bonjour,

connaître les variations de g (croissante) et savoir que g(0) vaut 0 permet de connaitre le signe de g.
Et le signe de g donne une information sur la différence entre l'ordonnée sur T et l'ordonnée sur C. Donc sur la position relative de ces deux courbes.

Est-ce que cela t'avance un peu ?