encadrement

[Luc]

Bonjour,
soit f(x)=x²+ln(1+1/x)
on a étudié une fonction auxiliaire P, on a trouvé alors a tel que P(a)=0 sur [0;1]
De plus on a les données:
1/4<a²<1/2
d'où 1/2<a<1/racine2
De plus on a trouvé f décroissante sur]0;a] et croissante sur [a;+oo[ et f positive pour x>0.
Donc f(x)>f(a)
et on a f(a)=a²-ln2-3ln(a)

Je dois trouver pour x>0, f(x)> (1+2ln2)/4

apres avoir encadré je ne trouve pas du tout cela:
on a :
1/4<a²<1/2
(1/4)-ln2<a²-ln2<(1/2)-ln2
(1/4)-ln2+3ln racine2<a²-ln2-3ln(a)<(1/2)-ln2+3ln2

car -ln2<ln(a)<-ln(racine 2)
ln racine2<ln(a)<ln2

Mais en continuant je ne trouve pas ce qu'il faut.
Avez vous une idée?
Merci d'avance et bonne soirée

[sos-math(20)]

Bonsoir Luc,

J’avoue que c'est nettement plus lisible avec les inégalités !

Vous êtes presque parvenu au résultat et toutes vos inégalités sont semble-t-il correctes; il vous reste simplement à utiliser une dernière propriété à laquelle vous n'avez pas pensé : \(ln(\sqrt{2})=\frac{1}{2}ln2\).

Bon courage pour la fin de votre travail.

SOS-math

[Luc]

Merci pour tout. cependant je pensais que ça devait être le membre de droite qui devais être inférieur à f(x).
C'est un mauvais raisonnement ou pas?
Merci d'avance

[sos-math(20)]

Bonsoir,

En effet vous faites une erreur, c'est bien celui de gauche.

SOS-math

[Luc]

D'accord mais pourquoi le membre de gauche?, je pensais qu'il fallait trouver le plus haute valeur possible de f(a), or ici on trouve la plus petite. Enfin je veux juste comprendre.
Merci d'avance et bonne soirée

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il semble que \(a\) soit un minimum pour votre fonction donc il faudrait prouver que \(f(x)\geq\,f(a)\) pour tout x>0.