Vérification de théorèmes et autre

[Antoine]

Bonjour
J'ai un exercice assez étrange et j'ai du mal à justifier mes réponses...

L'énoncé est
"On considère une fonction f définie sur un intervalle I et un nombre réel a appartenant à I.
Dans chacun des cas suivants, indiquer s'il existe une fonction f vérifiant simultanément les deux propriétés.

Si la réponse est "oui" donner un exemple.
Dans le cas contraire, justifier la réponse à l'aide d'un théorème du cours".


1. f est continue en a et f est dérivable en a
==> Oui, j'imagine que si je prends une fonction polynôme ça marche
Ou même cosinus et sinus qui sont dérivables sur R et donc continues sur R


2. f est continue en a et f n'est pas dérivable en a
==> Oui, telle que la fonction valeur absolue en 0 ?
Elle est continue en 0 car elle vaut 0 mais elle n'est pas dérivable en 0 ?
Ou bien la fonction racine carrée en 0 qui n'est pas dérivable en 0 mais bien continue sur [0 ; +inf[ ?


3. f n'est pas continue en a et f est dérivable en a
==> Non car d'après un théorème. Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
Si f est dérivable en a élément de I alors f est continue en A.


4. f n'est pas continue en a et f est n'est pas dérivable en a
==> Oui (je pense) et puis-je prendre l'exemple d'une fonction rationnelle ?
Car si elle n'est pas dérivable par rapport à une valeur interdite, et bien elle ne sera pas continue en ce point n'est-ce pas ?
Par exemple si je prends f(x) = (3x² -1) / (x-2) et bien elle n'est pas dérivable en 2 et n'est pas continue en 2 (car il y a une limite à gauche et à droite nan ?)


Voilà, merci de me dire si mes affirmations sont bonnes ou fausses ^^

En vous remerciant !
Antoine

[SoS-Math(11)]

Bonjour Antoine,

OK pour tout, pour la dernière tu peux aussi considérer la fonction "partie entière" E(x) qui est égale au plus grand entier directement inférieur ou égal à x.
E(2,9999)=2 mais E(3) = 3 il y a donc une discontinuité et pas de dérivée.

Bonne fin d'exercice

[Antoine]

Bonjour,
Ah oui en effet on l'avait vu en cours je ne m'en souvenais plus !!

Merci à vous :)