Divisibilité

[jeremy]

Bonjour,
j'ai un exo de DM mais je bloque a une question :

On pose a=2n+1 et b=n+3

1) Démontrer que tout diviseur commun de a et b divise 5

J'ai noté X le diviseur commun de a et b, et j'ai fait une combinaison linéaire et je finis par trouver X/5.

2) Démontrer que a et b sont multiples de 5 si et seulement si n-2 est multiple de 5

Je bloque ici

Merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour Jérémy,

Pour la question 2 :
Si a est multiple de 5 alors 2n+1 = 5p où p est un entier, si b est aussi un multiple de 5 alors n+3 = 5q où q est un entier.
Des égalités déduis-en n-2 par soustraction et conclus.

Inversement si n-2 est multiple de 5 alors n = 5k+2, avec k entier, remplace n par sa valeur dans les définitions de a et de b et conclus.

Bonne continuation.

[jeremy]

Merci j'ai trouvé.
Maintenant j'ai 3) Montrer que le seul diviseur positif commun de 2n+1 et n est +1

J'ai posé X un diviseur commun des deux et par combinaison linéaire j'ai X/1 donc X=1 car le seul entier positif qui divise 1 est 1.

C'est juste ?

[SoS-Math(11)]

Cela me semble correct, tu as aussi démontrer que X est un diviseur de 5, donc tu n'as que deux possibilités 1 et 5, tu peux voir comment vérifier que 5 ne convient pas.

Bon courage

[jeremy]

D'accord donc c'est bon merci :)
J'ai une dernière question :
4) On pose a=2k-1 et b=9k+4 k appartient a Z
J'ai montré que tout diviseur commun de a et b divise 17 soit X'/17.
Je dois en déduire, suivant les valeurs de k, le plus grand diviseur commun de a et b.
J'aurai dit que c'est 17 car X'/17 et le plus grand diviseur de 17 est 17, c'est juste ?
Encore merci.

[SoS-Math(11)]

Tu dois distinguer suivant les valeurs de k :
si k = 1 le plus grand diviseur est 1, si k = 9 c'est 17 donc on ne peut pas affirmer que c'est toujours 17, bien entendu il n'y a pas plus grand que 17 dans tous les cas. A voir comment la question est posée.

Bonne fin d'exercice

[jérémy]

D'accord, je vous écris l'énoncé en entier, si vous pouviez me dire ce que je dois faire.

k est un entier relatif, on pose :
a=2k-1 et b=9k+4
Montrer que tout diviseur commun à a et b divise 17.
En déduire, suivant les valeurs de k, le plus grand diviseur commun de a et b.

[SoS-Math(11)]

Tu dois donc distinguer les cas où tu as 1 et les cas où tu as 17.

Bon courage

[jeremy]

Donc je peux dire que pour tout k appartenant a Z privé de 9 le plus grand diviseur commun de a et b est 1, et pour k=9 le plus grand est 17 ?

[SoS-Math(11)]

Hélas non, c'est plus compliqué, si k = 26 c'est encore 17 ! Il faut approfondir un peu.

A toi de finir le travail

[jeremy]

Effectivement, je pense qu'il existe une suite qui définit tout les k pour lesquels le PGDC est 17, je veux dire que pour k=9 k=26 k=43... le PGCD est 17, donc je pense que pour tout k définit par k=9+17p p entier relatif le PGCD est 17, par contre je ne vois pas comment regrouper tout les autres k possibles.
Merci

[SoS-Math(11)]

OK, c'est bien, les autres n'ont pas besoin d'être caractérisés, il y a ceux qui donnent 17 et les autres, je pense que cela suffit.

A une autre fois sur le forum