vecteur colinéaire avec affize

[Chloé]

Bonjour à tous,

j'ai déjà fais un exercice sur les vecteurs avec les nombres complexes précédemment, mais maintenant je bloque sur les vecteurs colinéaires

Voici le sujet :
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé, on donne les points M, N et P d’affixes respectives z ; z2 −1 et 1/(z² -1). Trouvé l'ensemble des points M tels que les points O, N et P soient alignés

Ce que j'ai fais :
O, N et P sont aligné, donc vecteur ON = k OP ,

zON = k zOP

(x+iy)² -1 = k * ( (1/(x+iy)²) -1)
(x+iy)² -1 = k * ((1 - (x+iy)² /(x+iy)²

et là je bloque, je sais pas si je peux faire sa : (x+iy)² -1 = k * ((1 /(x+iy)²) et vu que je ne connais pas x et y comment je fais pour trouver le k ??

Chloé.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Tu peux aussi traduire la colinéarité avec une histoire de coordonnées proportionnelles, c'est à dire des produits en croix égaux :
$\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x\prime;y\prime)$ sont colinéaires lorsque leurs coordonnées sont proportionnelles ce qui se traduit aussi par $xy\prime-x\prime\,y=0$
A toi de déterminer les coordonnées de tes vecteurs (calculs d'affixe et partie réelle et imaginaire..)
Bon courage

[Chloé]

merci beaucoup pour votre réponse, depuis 14h, je suis dessus et je trouvais toujours pas la solution.
Merci encore énormément sos math (21)

[Chloé]

Par contre j'ai beaucoup de mal à calculer l'affixe de OP, avec les fraction je trouve pas ses coordonnées si quelqu'un peut m'aider svp

[sos-math(21)]

Pour l'affixe de $\vec{OP}$, rien de plus simple, c'est l'affixe de $P$, puisque $z_{\vec{OP}}=z_P-z_0=z_P-0=z_P=\frac{1}{z^2-1}$

[Chloé]

ouai mais quand je fais avec (x+iy)² je coince, car il me reste toujours une fraction.

[Chloé]

je viens de remarquer que l'affixe de P est (1/z²) -1 et non 1/(z²-1) c'est pour sa que j'ai ma fraction qui me coince.

[sos-math(21)]

Si tu as $\frac{1}{z^2-1}=\frac{1}{(x+iy)^2-1}=\frac{1}{x^2-y^2-1+i2xy}$, cela me parait compliqué...
On peut aussi voir que les affixes sont multiples l'une de l'autre : cela signifie que $\vec{ON}=k\vec{OP}$ donc $z^2-1=k\times\frac{1}{z^2-1}$ soit aussi le quotient des deux égal à un réel k : $\frac{z^2-1}{\frac{1}{z^2-1}}=k$ soit $(z^2-1)^2=k$ ce qui signifie $Z=(z^2-1)^2$ est un réel, ce qu'on peut aussi traduire par $Im(Z)=0$, ce qui est plus simple à calculer car il n'y a plus de fraction...
A toi de te lancer

[sos-math(21)]

Effectivement, cela change un peu les choses, à toi de voir quelle méthode est préférable...

[Chloé]

C'est bon j'ai réussi, vous pouvez verrouiller le sujet, je vous remercie énormément.

Chloé. à bientôt.

[sos-math(21)]

Très bien,
Bon courage pour la suite