Nombre complexe

[Alexandra]

On considère l'équation z²-2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0 où θ est un réel quelconque.
1) Résoudre cette équation dans C
2) Montrer que les images des solutions appartiennent à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Je crois qu'a la fin on obtient un polynôme du second degré.
Il faudra surement utiliser des formules de duplication (c'est se que le prof a dit)

Je n'y arrive pas du tout, aidez-moi svp

Merci

[SoS-Math(4)]

Bonsoir Alexandra,

1) il faut commencer par calculer delta.
Fais le calcul, et donne moi ton résultat.

sosmaths

[Alexandra]

Alors je ne suis pas du tout sur de se que j'ai trouvé. Je crois que je me suis trompé.

z²-2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0 est une équation du second degré. On a donc : a=1
b=-2(1+2cosθ)
c=5+4cosθ
Le discriminant est donc : delta = (-2(1+2cosθ))²-4*1*(5+4cosθ)
= -4(1+4cosθ)-4(5+4cosθ)
= -4-16cosθ-20+16cosθ
= -24

[SoS-Math(4)]

il ya des erreurs .

d'abord (-2)²=4 et non -4


(1+2cos a)²=1+4cos a +4 cos² a

sosmaths

[Alexandra]

Alors delta = (-2(1+2cosθ)²-4*1*(5+4cosθ)
= 4*1+4cosθ+4cos²θ-4*5+4cosθ
= 4+4cosθ+4cos²θ-20+4cosθ
= 4+8cosθ²+4cos²θ-20
= -16+8cosθ²+4cos²θ

Mais se n'est pas sa encore, je n'y arrive pas, je bloque.
Je crois que je me trompe au niveau du développement.

[SoS-Math(4)]

le premier 4, il est en facteur, donc en développant il y aura 16cosa et 16cos²a.

sosmath

Au fait comment fais tu la lettre "têta" ?

[Alexandra]

Ah oui ! mais je doute que sa soit bon encore.
Sa me donne (-2(1+2cosθ)²-4*1*(5+4cosθ)
= (4(1+4cosθ+4cos²θ))-4(5+4cosθ)
= 4+16cosθ+16cos²θ-20-16cosθ
= -16+16cos²θ

Pour avoir "thêta" voici se que j'ai fais : dans google j'ai tapé "thêta", je suis allé sur wikipédia et la j'ai copié le "thêta" minuscule qu'il y a.

[SoS-Math(4)]

Bonjour alexandra ,

C'est juste, mais le calcul peut continuer
delta= 16(cos²a-1)=-16sin²a=16i²sin²a=(4isina)²

A partir de là, tu peux calculer les 2 solutions dans C.

sosmaths

merci pour le tuyau.

[Alexandra]

Je n'ai pas très bien compris comment vous faites pour passer du cos au sin.
En prenant votre résultat, je trouve :
Delta est un nombre réel strictement positif alors l'équation admet dans C deux solutions qui sont les réels :
Z1= \(\frac{-(-2(1-2cosa)-\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\)

= \(\frac{2(1-2cosa)-\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\)

= \(\frac{2-4cosa-\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\)


Z2= \(\frac{-(-2(1-2cosa)+\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\)

= \(\frac{2(1-2cosa)+\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\)

= \(\frac{2-4cosa+\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\)

S= { \(\frac{2-4cosa-\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\) ; \(\frac{2-4cosa+\sqrt{(4isina)^{2}}}{2}\) }

Est-ce que s'est quelque chose comme sa qu'on doit trouver ?

[SoS-Math(4)]

J'ai utilisé la formule cos²a+sin²a=1 donc cos²a-1=-sin²a
ce que tu as fait n'est pas mal :

Dans le calcul , c'est (1+2cosa), ça donne pour z1: \(Z_1=\frac{2(1+2cosa)-4isina}{2}=1+2cosa-2isina\)

Par contre la question 2, elle est bizarre car par deux points il y a une infinité de cercles qui passent .

Peux tu vérifier ton énoncé, dans sa totalité, même les résultats trouvés me semblent bizarre. Tu es en TS, n'est ce pas ?

sosmaths

[Alexandra]

D'accord, donc je trouve :

Z1 = 1+2cosθ-2isinθ et Z2 = 1+2cosθ+2isinθ

Donc S= {1+2cosθ-2isinθ ; 1+2cosθ+2isinθ}

L'énoncé de la question 2) est : Montrer que les images des solutions appartiennent à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
Pour cette question c'est pas quelque chose avec Re(z) et Im(z) ou il faut faire les équivalences... ?

Oui je suis en TS.

[SoS-Math(4)]

je me demande s'il faut trouver un cercle qui contient toutes les solutions quelquesoit le choix de têta.
Sinon, les 2 solutions ayant le même module, elles appartiennent au cercle de centre O, et de rayon le module commun à z1 et z2, que je te laisse calculer .

MAIS, je voudrais que tu vérifies que tu as bien copié l'équation dans ton premier message.

merci

Sosmaths

[Alexandra]

Je pense qu'il faut faire se que vous avez dit en 2eme, c'est-à-dire, trouver les 2 solutions ayant le même module... je vais le faire et je vous donnerez mon résultat.
J'ai vérifié mon équation est c'est bien : z²-2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0, je ne me suis pas trompé.
Merci

[SoS-Math(4)]

ok, calcule leurs module.

sosmaths

[Alexandra]

J'ai beaucoup de mal avec cette leçon sur les nombres complexes comme vous avez pu remarquer, donc pour les modules je galère un peut aussi.
Voici se que j'ai trouvé :

|Z1| = |1+2cosθ-2isinθ| = \(\sqrt{1-4cos^{2}+4sin^{2}}\)

|Z2| = |1+2cosθ+2isinθ| = \(\sqrt{1-4cos^{2}-4sin^{2}}\)