Récurrence

[Marion]

On considère le nombre complexe j=\(\frac{-1}{2}\)+i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
1) Calculer j² et jcube
2) Calculer 1+j+j²
3) Montrer par récurrence que pour tout n de N, \((1+j)^{2n+1}\)=\((-j)^{n+2}\)

Voici se que j'ai trouvé :
1) j²=\(\frac{-1}{2}\)-i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
jcube=1
2)1+j+j²=1-\(\frac{1}{2}\)+i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)-\(\frac{1}{2}\)-i\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=0

Pour le trois j'ai trouvé que des pistes mais je bloque :
Hérédité : le but est de montrer qu'en partant de \((1+j)^{2n+1}\)=\((-j)^{n+2}\) on peut arriver à : \((1+j)^{2n+3}\)=\((-j)^{n+3}\)
Pour ceci calculons : \((1+j)^{2n+3}\) on a : \((1+j)^{2n+3}\)=\((1+j)^{2n+1}\)*(1+j)²
Il faut peut-être maintenant développer (1+j)² et utiliser les questions précédentes mais je n'y arrive pas.

Merci

[sos-math(22)]

Bonsoir Marion,
C'est très bien et tu as presque fini.
Comme \(1+j+j^2=0\), \(1+j=-j^2\)
Donc \((1+j)^2=(-j^2)^2=j^4=j^3j=j\)
Tu as plus qu'à utiliser ton hypothèse de récurrence.
Par contre, es-tu sûre de la parenthèse \((-j)^n\), ce n'est pas plutôt \(-\)\(j^n\) ?

[sos-math(22)]

pardon...

\((-j)^{n+2}\), ce n'est pas plutôt \(-\)\(j^{n+2}\) ??

[Marion]

C'est bon j'ai compris. Oui je me suis trompé, il ne faut pas des parenthèses. Merci beaucoup.

[sos-math(22)]

Entendu.

Remarque : On vous demande un raisonnement par récurrence, vous avez donc fait ce qu'il faut.

Cependant, il n'est pas indispensable. En effet :

\((1+j)^{2n+1}=(-j^2)^{2n+1}=-(j^2)^{2n+1}\) car \(2n+1\) est impair.

Puis : \((1+j)^{2n+1}=-j^{4n+2}=-j^{4n}j^2=-j^{3n}j^nj^2=-j^{n+2}\)

Bonne continuation.

SoS-Math.

[Marion]

D'accord. Encore une fois merci beaucoup de votre aide.

[sos-math(22)]

Bonne continuation.