fonctions : aire maximale

[Louise]

Bonjour !
j'aurais besoin d'aide pour un problème dont le sujet est le suivant :

Déterminer, parmi tous les rectangles ayant un périmètre fixé, celui dont l'aire est maximale.

J'ai commencée par :
Soient X et Y les côtés d'un rectangle.
Le périmètre P est donné par P=2X+2Y, et l'aire A par A=XY
Mais ensuite, je ne sais pas comment m'y prendre..

Merci d'avance !
Louise.

[sos-math(20)]

Bonjour Louise,

Vous savez que \(A=XY\)et que \(Y=\frac{P-2X}{2}\)(où P est le périmètre fixé), vous avez donc \(A=...\)une certaine fonction de X qu'il vous restera à étudier pour savoir quand elle atteint son maximum.

Bon courage.

SOS-math

[Louise]

Bonjour,
Donc A= x((p-2x)/2) , c'est ça ?

merci.

[sos-math(20)]

Bonjour Louise,

C'est bien cela.

SOS-math

[Louise]

Bonjour,
Je vous remercie pour votre aide, je crois avoir compris un peu..
C'est juste si je fais ça :
Soient X et Y les côtés d'un rectangle.
Le périmètre P est donné par P=2X+2Y, et l'aire A par A=XY
Si P=2X+2Y on a Y=(P-2X)/2.
D'où A=X((P-2X)/2).
Ce qui donne A=-X²+(P/2)X

On définit par f la fonction telle que f(x) = -x²+(P/2)x.
On cherche pour quelle valeur de x, f(x)est maximum.
S'agissant d'une fonction polynôme du second degré de type ax²+bx+c, le sommet de la parabole a pour abscisse (-b/2a).
Donc la valeur maximale de f(x) est obtenue pour x=(-P/2)/-2= P/4.
Or si x=P/4 alors P=4x, ce qui implique, dans une figure à quatre côtés que ces côtés soient égaux.
Le rectangle de périmètre fixe dont l'aire est maximale est le carré.

[sos-math(20)]

Bonsoir Louise,

Tout me paraît correct.

Bonne soirée.

SOS-math