Etude de fonctions

[Manon92]

Bonjour , voila j'ai quelques difficultés a réaliser un exercice
Voici le sujet
Soit f fonction définie par f(x)= √(x²+1)-x
1) Ensemble de définition et relation fonctionnelle
a)Montrer que f est définie sur l'ensemble des réels
b)Montrer que pour tout x réel, f(x)f(-x)=1
2)Comportement asymptotique
a)Calculer la limite de f(x)en - ∞.
b)Calculer la limite de f(x)en +∞ . En déduire l'existence d'une asymptote T+∞ à C en + ∞.
c)Montrer que T-∞ d'équation y= -2x est asymptote oblique à C en -∞ .
3)Variations
a) Montrer que f(x)>0 pour tout x 0. En déduire f(x)>0 pour tout x .
b)Montrer que pour tout réel x , f'(x)= -f(x)/ √(1+x²). En déduire le tableau de variations de f

Voila ce que j'ai fait:
1)a)J'ai compris!
b)f(x)f(-x)= √( (x²+1)-x)x( √((-x)²+1)+x)=( √(x²+1)-x)x(√ (x²+1)+x)= √(x²+1)²-x²=x²+1-x²=1
2)a)En -∞ lim √(x²+1)= +∞ par composition de limites
En - lim -x=+∞
Donc par somme de limites, en -∞ lim f(x)=+∞ .
b) √(x²+1)-x=lim( √(x²+1)-x)( √(x²+1)+x)/( √(x²+1)+x) = 1/( √(x²+1)+x)
Comme en +∞ ,lim( √(x²+1)+x)=+∞ donc par inverse lim 1/( √(x²+1)+x)= 0
Est-ce bon? Pour les autres questions, je ne sais pas comment faire?
Pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
Merci d'avance

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Manon,

Ce que tu as fait me semble juste, je n'ai pas tout vérifié avec précision mais globalement les méthodes utilisées sont les bonnes.

Pour \(x\) positif \(\sqrt{x^2+1}\geq{\sqrt{x^2}\) déduis-en que \({f(x)}\geq{0}\), pour x négatif il n'y a pas de problème puisque \(-x\) et \(\sqrt{x^2+1}\) sont positifs

Pour la dernière tu as : \((\sqrt{x^2+1})^,=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\) car \((\sqrt{u})^,=\frac{u^,}{2\sqrt{u}}\).

Bonne continuation

[Manon92]

Bonjour,
Et la deuxième partie de 3)a), je ne comprends pas f(x)>0 pour tout réel x
Pour la dérivé, je ne comprends pas, quand je le fais je ne trouve pas ça!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Manon,

En principe, on t'a donné les explications .... mais je vais préciser un peu ....
* Pour x < 0, -x > 0 et \(\sqr{x^2+1}>0\), donc f(x) > 0.
* Pour x > 0, Démontre que \(\sqr{x^2+1}>\sqr{x^2}\), et comme x > 0, on \(\sqr{x^2}=x\), alors tu pourra conclure sur le signe de f(x).

Pour la dérivée, peux-tu me donner ton résultat ?

SoSMath.

[Manon92]

f'(x)=\(\frac{2x}{2sqrt{x^{2}+1}}\)-1=\(\frac{x}{sqrt{x^{2}+1}}\)-1=\(\frac{x-sqrt{x^{2}+1})}{sqrt{x^{2}+1}}\)=\(\frac{-(sqrt{x^{2}+1}-x)}{sqrt{x^{2}+1}}\)= \(\frac{-f(x)}{sqrt{x^{2}+1} }\)

[SoS-Math(2)]

Bonsoir Manon,
votre calcul est correct
Bon courage pour la suite