Suite (Un)

[Antoine]

Bonjour !
J'ai un DM à faire et j'ai un exercice un peu compliqué à faire où je bloque un peu...

L'énoncé
"La suite (Un) est définie par n supérieur ou égal à 1 par Un = n/(n²+1) + n/(n²+2) + ... + n(n² n)"


1. Démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, n²/(n²+n) < ou égal à Un < ou égal à n²/(n²+1)
2. En déduire la convergence de la suite (Un) et préciser sa limite


1. Je ne pense pas que ça marche avec une récurrence...
Mais je ne vois pas trop comment faire...

2. En factorisant par n, puis une seconde fois par n à gauche, je trouve que (Un) converge vers 1 (d'après le théorème des Gendarmes)


Voilà merci de votre aide ! :)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Antoine,

En effet une récurrence semble compliqué pour la question 1 !
Tu as \(u_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{n}{n^2+i}\).

Donc l'idée est d'encadrer \(\frac{n}{n^2+i}\) pour \(1\leq{}i\leq{}n\), puis de faire une somme.

Pour la question 2, ta méthode est juste.

Bon courage,
SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
J'ai essayé mais j'ai un petit souci...

Je vous montre mon calcul

1 < i < n (je précise que je mets des ''<'' mais en réalité ce sont des ''inférieurs ou égal à'')
1 +n² < i + n² < n + n²
1/(1 + n²) > 1/ (i + n²) > 1/(n + n²) car la fonction inverse décroît sur ]0 ; +inf[

n / (n² +1) > n / (n² + i) > n / (n +n²)

Mais ensuite je ne sais pas vraiment quoi faire pour arriver à Un...

[SoS-Math(9)]

Antoine,

C'est très bien ce que tu as fait. Il te reste juste à faire la somme de tes inégalités pour i allant de 1 à n :

n / (n² +1) > n / (n² + 1) > n / (n +n²)
n / (n² +1) > n / (n² +2) > n / (n +n²)
.....
n / (n² +1) > n / (n² + n) > n / (n +n²)

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,

Je ne comprends pas trop comment vous faîtes...
En tout cas j'ai vu que vous remplaciez i par 1, puis 2 etc jusqu'à n

De toute façon les encadrements sont les mêmes (visiblement du moins)
Mais on arrive pas à la chose de départ nan ?

Vu qu'on veut démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, n²/(n²+n) < ou égal à Un < ou égal à n²/(n²+1) ?

[SoS-Math(9)]

Antoine,

Il faut réfléchir un peu avant de répondre ....

Effectue les sommes demandées ...
Je t'aide un peu : la somme des termes du milieu de donne Un ! En effet n / (n² + 1) + n / (n² + 2)+...+n / (n² + n) = Un.

SoSMath.

[Antoine]

Bonjour,
Ca y est je viens de comprendre je crois !

(En fait j'avais bien vu Un au milieu mais il me restait des n au lieu des n² au numérateur de chaque côté de l'inégalité)
Et si j'ai bien compris, pour obtenir la somme au milieu, on augmente la valeur de i, ce qui engendre par la suite qu'on multiplie par n de chaque côté de l'inégalité non ?

Et comme cela, on aurait n² / (n²+1) > Un > n& (n²+n) ?

[SoS-Math(9)]

Antoine,

quand tu fais la somme de n termes identiques a (soit a + a +a +...+ a), que trouves tu ?

SoSMath.

[Antoine]

Bonsoir,
Euh la somme de n termes identiques a... Et bien ça fait (n+1)nombre de termes non ?

En fait je n'ai pas trop compris le passage de n/(n²+1) > n/(n²+1) > n/(n² +n) à la somme...
J'ai juste compris que vous faisiez en sorte de faire une somme au milieu pour trouver Un, mais je ne comprends pas comment évoluent les deux membres de l'inégalité (à gauche et à droite) une fois qu'on change le ''i''...

[Antoine]

Bonsoir,
Je pense avoir eu un éclair en fait mais pas sûr ^^

Si j'ai bien compris, en faisant la somme pour aller jusqu'à Un, on prend de i = 1 à i = n
On sait donc qu'il y a n termes.

Or, dans les deux autres membres de l'inégalité, lorsqu'on fait une somme, c'est toujours les mêmes termes qu'on additionne.
Et comme il y a n termes, je pense qu'on peut faire n * quelque chose d'où ce qu'on recherche.

Désolé pour le double-post, du moins j'espère que j'ai compris ! ^^

[SoS-Math(9)]

Oui Antoine !

En effet a+a+a+..+a = n*a (s'il y a n termes !)

Donc n / (n² +1) + n / (n² +1) + n / (n² +1) +..+ n / (n² +1) = n * n / (n² +1) = n² / (n² +1).

SoSMath.

[Antoine]

Bonsoir,
Merci beaucoup pour votre aide !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Antoine,

SoSMath.