Voudriez-vous m'aider à débloquer dans un problème suivant:
Soit un pentagone convexe ABCDE, rectangle en B et D. Montrer que le périmètre du triangle ACE est supérieur ou égal à 2BD.
Commentaire : En utilisant les théorèmes de Pythagore et Al-Kashi
on obtient ( pour AB = a, BC = b, CD = c, DE = c, EA = e et ∢BCA =\(\alpha\) , ∢ECD = \(\beta\), ∢ACE = \(\gamma\) ) l'inégalité à prouver:
\(\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} + e\) ≥ \(2{\sqrt{b^2 + c^2 - 2bc{cos{(\alpha +\beta + \gamma)}}\) .
Ensuite on développe \(cos{(\alpha +\beta + \gamma)}\) et on substitue les formules pour \(sin\alpha, cos\alpha, sin\beta, cos\beta, cos\gamma\) (calculés à partir des triangles ABC, CDE, ainsi que ACE - Al-Kashi encore ) et finalement \(sin\gamma\) obtenu de \(cos\gamma\).
En résulte une inégalité trés compliquée, qui rend impossible sa démonstration . Je pense qu'il y a une autre méthode qui s'avererait effective. Laquelle ?
Merci d'avance,
Monique