Bonjour,
J'aurai besoin d'être orienté sur la question suivante :
On considère dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O, (Ox),(Oy)) la fonction qui, à tout
complexe z non nul, fait correspondre son carré : f : z f (z ) = z2 .
Quelle est l’image par f du carré de centre O, de côtés parallèles aux axes et de longueurs 4 ?
Visiblement la forme géométrique resemble fortement à une élipse et je chercherais bien à trouver un lien avec x²/a² + y²/b=1 mais bon ce n'est qu 'une hypothèse
merci de votre aide
fonction complexe
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Didou
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SoS-Math(4)
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- Enregistré le : mer. 5 sept. 2007 12:12
Re: fonction complexe
Bonjour,
Le carré étant la réunion de 4 segments , on va s'occuper d'un des côtés. Pour les 3 autres côtés les méthodes sont les mêmes.
On va considérer le coté qui est la réunion des points M(x, y) tels que y=2 et -2<=x<=+2
ce qui peut s'écrire si z=x+iy : z=x+2i avec -2<=x<=+2.
Si on applique f on obtient z'=f(z)=(x+2i)²=x²-4+4ix avec -2<=x<=+2
Donc l'image du côté est l'ensemble des points M'( x²-4; 4x) avec -2<=x<=+2
On remarque x(M')=(y(M')²/16) -4 -8<=y(M')<=+8
L'image de ce côté semble donc être une branche de parabole.
l'image du carré doit donc être la réunion de 4 branches de parabole, et doit donc ressembler à un carré gonflé.
refaites mes calculs.
bon courage
Le carré étant la réunion de 4 segments , on va s'occuper d'un des côtés. Pour les 3 autres côtés les méthodes sont les mêmes.
On va considérer le coté qui est la réunion des points M(x, y) tels que y=2 et -2<=x<=+2
ce qui peut s'écrire si z=x+iy : z=x+2i avec -2<=x<=+2.
Si on applique f on obtient z'=f(z)=(x+2i)²=x²-4+4ix avec -2<=x<=+2
Donc l'image du côté est l'ensemble des points M'( x²-4; 4x) avec -2<=x<=+2
On remarque x(M')=(y(M')²/16) -4 -8<=y(M')<=+8
L'image de ce côté semble donc être une branche de parabole.
l'image du carré doit donc être la réunion de 4 branches de parabole, et doit donc ressembler à un carré gonflé.
refaites mes calculs.
bon courage