Bonjour, j'ai un petit exercice sur les droites dans l'espace et il y a deux questions qui me posent probleme:
"Soit les droite d et d' de représentation paramétriques : { x=1-2k ;y= 2-2k ; z= k et { x= 8-t ; y=2t ;z= 1-t
1) montrer que ces droites ne sont pas paralleles ( je l'ai déja fait)
2) Determiner l'intersection de ces deux droites ( il me semble qu'il faut résoudre un systeme mais je ne vois pas lequel et comment)
3) Determiner la position relative de ces deux droite ( là je ne vois pas du tout )
merci d'avance
Droites dans l'espace
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sos-math(21)
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Re: Droites dans l'espace
Bonjour,
Le point d'intersection \((x_0;y_0;z_0)\)de ces deux droites doit vérifier les deux systèmes simultanément :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x_0&=&1-2k\\y_0&=&1-2k\\z_0&=&k\end{array}\right.\) et \(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x_0&=&8-t\\y_0&=&2t\\z_0&=&1-t\end{array}\right.\)
Donc on "égale" ces deux systèmes pour rechercher t et k :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}8-t&=&1-2k\\2t&=&1-2k\\1-t&=&k\end{array}\right.\)
Les deux dernières équations sont équivalentes (il suffit de passer le 1 à droite et de multiplier par -2 dans la dernière on retombe sur la deuxième équation ) donc ton système se résume à un systèmes de deux équations à deux inconnues :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}8-t&=&1-2k\\1-t&=&k\end{array}\right.\)
A toi de le résoudre et de réinjecter les valeurs de k et t obtenues pour avoir les coordonnées du point d'intersection ( tu dois trouver t=3 et k=-2 et le point I(5;6;-2))
Le point d'intersection \((x_0;y_0;z_0)\)de ces deux droites doit vérifier les deux systèmes simultanément :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x_0&=&1-2k\\y_0&=&1-2k\\z_0&=&k\end{array}\right.\) et \(\left\lbrace\begin{array}{rcl}x_0&=&8-t\\y_0&=&2t\\z_0&=&1-t\end{array}\right.\)
Donc on "égale" ces deux systèmes pour rechercher t et k :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}8-t&=&1-2k\\2t&=&1-2k\\1-t&=&k\end{array}\right.\)
Les deux dernières équations sont équivalentes (il suffit de passer le 1 à droite et de multiplier par -2 dans la dernière on retombe sur la deuxième équation ) donc ton système se résume à un systèmes de deux équations à deux inconnues :
\(\left\lbrace\begin{array}{rcl}8-t&=&1-2k\\1-t&=&k\end{array}\right.\)
A toi de le résoudre et de réinjecter les valeurs de k et t obtenues pour avoir les coordonnées du point d'intersection ( tu dois trouver t=3 et k=-2 et le point I(5;6;-2))