géométrie dans l'espace

[George]

Re-Bonjour Sos maths,
J'ai encore un problème mais cette fois avec un exercice de géométrie analytique dans l'espace.
Voici l'énoncé :

Dans un repère de l'espace, on donne les points A(5,4,-1) ; B(7,7,-3) ; C(4,-3,2) et D(5.5, -3.5, 1,5).
1)a. Montrer que les droites AC et BD sont parallèles
b. En déduire que les droites Ab et Cd sont coplanaires

2)a. Montrer que les droites Ab et Cd sont sécantes
b. Déterminer les coordonnées du point d'intersection I des droites (AB) et (CD).
___________________________
Pour les 3 premières questions, j'ai réussi à y répondre. Cependant, pour la dernière question, je rencontre un peu de difficulté... Je ne vois pas comment m'y prendre!
Si vous aviez des indications à me donner, j'en serai ravis!

Merci d'avance.

[sos-math(20)]

Bonsoir George,

Je vous donne une idée : écrivez les systèmes d'équations paramétriques des deux droites (AB) et (CD) en appelant le paramètre k pour la droite (AB) et t pour la droite(CD) par exemple.
Le point d'intersection a des coordonnées (x, y, z) qui vérifient les six équations précédentes : cela devrait vous permettre de trouver t et k et ensuite (x,y,z).

Bon courage.

SOS-math

[George]

Bonsoir SosMaths 11,
En regardant le chapitre de géométrie dans l'espace sur le net, je suis effectivement tomber sur cette notion d'équation paramétrique... Cependant, nous n'avons pas vu cela dans notre cours! Et comme il s'agit d'un exercice pour un DM, je me demandais justement si on avait le droit d'utiliser une notion que l'on a pas vu en cours...

merci de me répondre! :)

[sos-math(20)]

Bonsoir George,

Je ne vois a priori pas d'autre méthode pour l'instant pour traiter votre question.
Vous pouvez toujours utiliser des résultats même s'ils n'ont pas été développés en classe.

Bonne soirée.

SOS-math

[George]

Bonsoir SosMath,
J'ai donc essayé de continuer ma démarche (ressemblant donc à l'écriture d'une équation paramétrique mais toutefois sans l'évoquer) mais je bloque!

On a donc :
4b) On a prouvé que (AB) et (CD) n'était pas parallèles, signifiant donc qu'elles étaient sécantes et coplanaires. On a donc I(x,y,z) , point d'intersection de (AB) et (CD).
On a ainsi Vect(AB) = k AI et CD=t CI.

En exprimant ces égalités avec les coordonnées de I, on a un système à 6 équations :
2 = k(xi - 5)
3 = k(yi - 4)
-2 = k(zi+1)
1,5 = t (xi - 4)
-0,5 = t (yi +3)
-0,5 = t (zi -2)

Mais je bloque pour la résolution de ce système! Pourriez-vous me donner quelques indications?
merci :)

[sos-math(20)]

Bonjour George,

Vous n'avez pas vraiment utilisé les équations paramétriques de droites de l'espace.

La droite (AB) est dirigée par le vecteur \(\vec{AB}\) et elle passe évidemment par le point A : un système d'équations paramétriques de (AB) est alors : \(\left\{\begin{matrix}x=2k+5\\y=3k+4\\z=-2k-1\end{matrix}\right\), où k est un réel quelconque.

Il faut faire la même chose avec la droite (CD) et seulement après considérer le système de six équations pour trouver les coordonnées du point I. Cela me paraît toutefois bien difficile si vous n'avez pas du tout vu cela en cours; vous devriez demander conseil à votre enseignant.

Bonne journée.

SOS-math

[George]

Bonsoir,
Etant en week end, je ne peux malheureusement pas contacter ma prof pour lui demander plus de d'information... Si vous ne voyez pas d'autres manière de résoudre ce problème, j'imagine que je vais devoir employer cette méthode.

Cela me donne donc une droite (CD) dirigé par le \vec{CD} et passant par C: un système d'équation paramétrique de (CD) est alors : \left\{\begin{matrix}x=1,5t+4\\y=-0,5t-3\\z=-0,5t+2\end{matrix}\right

On a donc un système à 6 équations pour trouver les coordonnées de I.
Soit :
x = 2k+5
y = 3k+4
Z = -2k+1
x = 1,5t + 4
y = -0,5t -3
z = -0,5t +2

Soit le système :
2k+5 = 1,5t +4
3k+4 = -0,5t -3
-2k-1 = -0,5t +2

Considérons le système:
2k+5 = 1,5 t+4
-2k-1 = -0,5t+2
(Les k disparaissent par soustraction, ce qui nous permet d'obtenir t=-2)
On remplace ensuite t par -2 dans une des équations, par exemple 2k+5 = 1,5t +4 , ce qui nous permet d'obtenir k=-2.

=> Une vérification peut être nécessaire, on remplace alors t et k dans l'équation 3k+4 = -0,5t -3 , ce qui nous fait -2= -2.

On remplace ensuite k et t dans les 6 équations précédentes, on remarque donc qu'on obtient I(1, -2, 3)
Les coordonnées du point d'intersection I des droites (AB) et (CD) sont donc (1, -2, 3).


Merci par avance. :)

[sos-math(21)]

Bonjour,
La démarche est correcte et si les coordonnées sont bonnes, le système a bien pour solution -2 et -2.
Tout me semble juste même si je suis de l'avis de sos-math(20) : cela me semble difficile surtout si vous n'avez pas vu la notion d'équation paramétrique.
Bon courage pour la suite

[George]

Bonjour,
J'espère que la prof acceptera ma démarche... En tout cas, merci à vous d'avoir accordé un peu de votre temps libre à mon problème!

A bientot :)