Bonjour!
Je sollicite votre aide car j'ai du réaliser l'étude de la fonction suivante pour un exercice : fn(x)= 1/n! . (ln x)^n/x^2
Mon problème est le suivant, je n'arrive pas à déterminer la limite de cette fonction en +infini car je n'arrive pas à lever la forme indéterminée :
lim (x->+infini) fn(x) = lim (x->+infini) 1/n! . (ln x)^n/x^2 = lim (x->+infini) 1/n! . (ln x)^n/x . 1/x = ??
Pourriez vous me venir en aide?
Merci d'avance!
Problème de limite
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Factorielle
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SoS-Math(11)
- Messages : 2881
- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Problème de limite
Bonjour,
n étant fixé, la limite en + l'infini de \(\frac{(ln(x))^n}{x^2}\) vaut 0, donc la limite de la fonction en découle. Je ne sais pas quels théorèmes vous avez appris sur les croissances comparées des fonctions ln, exp, et polynômes, ils sont à revoir pour plus de précisions dans la rédaction de la recherche de limite.
Bonne continuation
n étant fixé, la limite en + l'infini de \(\frac{(ln(x))^n}{x^2}\) vaut 0, donc la limite de la fonction en découle. Je ne sais pas quels théorèmes vous avez appris sur les croissances comparées des fonctions ln, exp, et polynômes, ils sont à revoir pour plus de précisions dans la rédaction de la recherche de limite.
Bonne continuation
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Factorielle
Re: Problème de limite
Bonjour!
Nous avons seulement appris la limite en + l'infini de ln(x)/x^n-->0.
Pourriez vous m'aider a trouver la demonstration pour prouver que la limite que nous recherchons tend elle aussi vers 0?
Merci!
Nous avons seulement appris la limite en + l'infini de ln(x)/x^n-->0.
Pourriez vous m'aider a trouver la demonstration pour prouver que la limite que nous recherchons tend elle aussi vers 0?
Merci!
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SoS-Math(11)
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- Enregistré le : lun. 9 mars 2009 18:20
Re: Problème de limite
Bonsoir,
Je ne suis pas sur que cette démonstration soit du programme, ce qu'il faut savoir c'est qu'il existe un nombre \(A_n\)t el que pour \(x > A_n\) on \(x\geq{(ln(x))^n\) et que \(\frac{1}{x}\geq{\frac{(ln(x))^n}{x^2}\) et comme limite en plus l'infini de \(\frac{1}{x}\) est nulle lethéorème des gendarmes permet de conclure pour la limite de \({\frac{(ln(x))^n}{x^2}\).
Bonne continuation
Je ne suis pas sur que cette démonstration soit du programme, ce qu'il faut savoir c'est qu'il existe un nombre \(A_n\)t el que pour \(x > A_n\) on \(x\geq{(ln(x))^n\) et que \(\frac{1}{x}\geq{\frac{(ln(x))^n}{x^2}\) et comme limite en plus l'infini de \(\frac{1}{x}\) est nulle lethéorème des gendarmes permet de conclure pour la limite de \({\frac{(ln(x))^n}{x^2}\).
Bonne continuation
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ovn
Re: Problème de limite
Bonjour,
On peut conclure en disant que :
\(\frac{\ln(x)^n}{x^2} = \frac{\ln(x)^n}{x^{\frac{2n}{n}}} = \left(\frac{\ln(x)}{x^{\frac{2}{n}}\right)^n \to_{x \to +\infty} \hspace{2pt} 0\)
On peut conclure en disant que :
\(\frac{\ln(x)^n}{x^2} = \frac{\ln(x)^n}{x^{\frac{2n}{n}}} = \left(\frac{\ln(x)}{x^{\frac{2}{n}}\right)^n \to_{x \to +\infty} \hspace{2pt} 0\)