Suites. Aidez moi :(

[Amélie]

Coucou à tous. J'ai un devoir maison de maths à faire pour le 10 mais 2011 seulement je suis vraiment nulle et je ne comprend rien. Est-que quelqu'un veut bien m'expliquer ?

Soit u la suite définie pour tout entier naturel n par Un =1+(1/(2(n+1)))

1.a) Dans un repère (O,i,j), on trace la droite d'équation y=1. On considère le "tuyau" constitué par d et par la droite d1 d'équation y=1+10^(-1). Montrer qu'il existe un entier k à partir duquel tous les points de coordonnées (n,Un) avec n>k, sont dans le tuyau. Représentez U0, U1, U2, ... U7.
b) Plus généralement, k étant un naturel quelconque, montrer que l'on peut trouver un entier tel que : 1-10^(-k) < Un < 1+10^(-k).
Définition : Dire qu'une suite converge vers le réel L signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente vers L et l'on note lim(n->+infini)Un=L ou plus simplement lim Un=L.
2. D'après cette définition que peut-on en déduire pour la suite u ?
3. En introduisant une fonction numérique, montrer d"une autre façon que la suite u converge vers 1.

Propriétés : - Si la suite u converge, alors sa limite est unique.
- Si f est une fonction numérique définie sur R+ telle que lim(x->+infini)f(x)=L, alors la suite de terme général Un=f(n) converge et a pour limite L.
4. Justifier que les suites de terme général (1/n), (1/n²) et (1/√n) convergent.
Si u et v convergent respectivement vers les réels L et L', alors :( A compléter, une suite est une fonction.) .....
- si k est un réel la suite ku converge vers .....
- La suite u+v converge vers .....
- La suite uv converge vers .....
- Si L différent de 0, alors la suite (1/u) converge vers .....

Théorème des "gendarmes" ou du "sandwich" ??
5. On suppose que, pour tout entiern, on a : Vn ≤ Un ≤ Wn avec limVn = limWn = L.
Soit I un intervalle ouvert contenant L. Soit n1 le plus petit entier naturel à partir duquel tous les Vn sont dans I. Pourquoi cet entier existe-t'il ?
Soit n2 le plus petit entier à partir duquel tous les Wn sont dans I. Comment faut-il choisir n pour que à partir de n, tous les Un soient dans I ?
Que venez-vous de démontrer ? Enoncer le théorème.

Définition :Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
Ex : Un=√n ou Vn=(-1)^n. La suite u tend vers +infini et la suite v n'a pas de limite

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour le début de votre dm, il y a un sujet récent qui a été traité (cela s'appelait limite de suites, il devait émaner d'un certain "claude" si je m'en souviens). Regardez-y pour vous appuyer sur les réponses déjà proposées.