étude complète d'une fonction

[charles]

Bonsoir je dois faire un Dm de math pour mardi et je bloque pour beaucoup de questions
Je vous met l'énoncé et mon raisonnement :
Les courbes seront tracées dans une repère orthonormal (O,i,j) d'unité 2 cm.

1)Tracer la courbe P, représentative de a fonction g définie, sur, par g(x)=x²-x

2)On considère le polynome P(x)=2xau cube+3x²-5
Calculer P(1) et déterminer un trinome (x) tel que, pour tout x, on ait :
P(x)=(x-1)Q(x)
En déduire le signe de P(x) suivant les valeurs de x.

3)On considère la fonction f définie, sur \{-1}, par :
f(x)= x3-x+4 / (x+1)
Et C sa courbe représentative dans le repère (O,i,j).
a. Montrer que, pour tout x1, f'(x)= P(x) / (x+1)²
oùf' est la dérivée de f.
En déduire les variations de f.
b.Determiner les limites de f en +, en - et en -1.
c.Dresser le tableau des variations de f.

4) a. Montrer que, pour tout x distinc de -1, on peut écrire :
f(x)= g(x)+ a/(x+1)
où a est un réel que l'on determinera.
b.Determiner les imites en + et en - de :
f(x)-g(x)
c.Etudier la position relative de C et P.
d. Tracer la courbe C sur le meme graphique que P.

Mes résultats :
1) pas de problèmes
2) P(1) = O car 2X1+3X1-5
je dois répondre a " que peut on dire du réel 1 vis a vis du polynome P?
J'ai trouvé P(1)=0, donc on peut factoriser P(x) par (x-1)
donc 2xaucube+3x²-5=(x-1)X(ax²+bx+c)
P(x) = ax aucube + (b-a)x²+(c-b)x-c
Or Px)=2xaucube+3x²-5 ceci étant vrai pour tout x on a a la fois a=2 ;b-a=3;c-b=0 et -c =-5
donc a=2 ; b=5 et c = 5

Ensuite je pense que pour déduire le signe de P(x) suivant les valeurs de x je dois faire un tableau de variation
x -oo -1 +oo
P(x) - 0 +

je ne c pas si c'est cela
3) je dérive f(x) et je trouve f'(x)= 3x²-1 / 1
et donc P(x)/(x+1)² --> 2x au cube+ 3x² - 5 / x²+2x+1 je n'arrive pas a finir mon calcul pour démontrer que f'(x) est égale a P(x)/(x+1)²
ensuite je bloque


Pouvez vous m'aider .
Silvouplait . Merci Beaucoup d'avance
Amicalement : charles .

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Charles,

Tout le début semble correct.

Tu as du faire une erreur dans le calcul de f' : \(f^,(x)=\fac{(3x^2-1)(x+1)-(x^3-x+4)}{(x+1)^2}\) et après simplification tu dois bien retrouver \(f^,(x)=\frac{P(x)}{(x+1)^2}\).
Ce qui va te donner le sens de variation de f.

f(x) = g(x) + a/(x+1) pour trouver a, réduis au même dénominateur puis déduis-en a en comparant ton résultat et la formule de f(x).

La limite de f(x)-g(x) est 0+ ou 0- ce qui va te donner une asymptote.

Bon courage

[SoS-Math(11)]

Il y a une faute de frappe ; il fut lire\(f^,(x)=\frac{(3x^2-1)(x+1)-(x^3-x+4)}{(x+1)^2}\)

[charles]

Bonjour et merci pour vôtre aide.
Pour la question 2 est ce que le petit tableau de variation que j'ai mit sur mon premier message est juste ?
Ensuite pour la question 3 j'ai effectivement trouvé que f'(x)=P(x)/(x+1)² .
Je doit par contre déduire les variations de f comment je dois procéder .?
Ensuite pour la question 4) j'ai trouver que l'on pouvait écrire f(x)=g(x)+a/x+1
je met g(x) sur le meme dénominateur donc : x²-x(x+1)+a / x+1 --> donc x^3+x²-x²-x+a / x+1 ---> x^3-x+a/x+1
J'en déduis donc que a est un réel qui est de 4
Ensuite je dois déterminer les limites en +oo et -oo de f(x)-g(x)
donc :x^3-x+4-x^3+x²-x²-x/ x+1 ---> -2x+4/x+1= forme indéterminé je factorise par x : x(-2+4/x) / x(1+1/x) une fois que j'ai factorisé je doit continué mais je n'arrive pas .


Merci d'avance
Bonne journée . CHARLES

[SoS-Math(4)]

Bonjour,

Je ne vois pas de tableau de variations, mais un tableau de signes pour P. P s'annule pour 1 et non -1.

Pour les variations de f , tu dois étudier le signe de f '(x) qui est le même que celui de P(x).

la limite de f(x) -g(x) en +infini ou -infini est donc la limite de a/(x-1) en +infini ou -infini. C'est donc 0.

sosmaths

[charles]

Bonjour et merci de vôtre réponse qui m'a bien aidé .
cependant il me reste un petit problème pour le 3) b) (déterminer les limites de f en + linfini et - linfini aisni que en -1 )
j'ai trouvé les limites qui sont pour :
+oo : limf(x) = +oo .
-oo: limf(x) = +oo
-1 lorsque x<-1 : limf(x) = -oo
-1 lorsque x>-1 : limf(x) = +oo
Sauf qu'ensuite on me di de " DONNER une interprétation graphique de la limite de f en -1 . mais je ne sais pas ce qu'il faut mettre
Pouver vous m'aidez
Merci d'avance

Charles

[SoS-Math(9)]

Bonjour charles,

La réponse doit être dans ton cours ...
Je t'aide : il s'agit d'une asymptote ...

SoSMath.

[charles]

est-ce une asymptote parabolique ??

[SoS-Math(9)]

Non !

Dans ton cours, tu dois avoir :
si \(\lim_{x \to a}f(x)=+\infty\), alors ..... (à toi de retrouver la suite ... voir ton cours).

SoSMath.