Statistique , Interpolation linéaire.

[Maude]

Bonsoir ,

Dans une usine de conserve, on remplit les boites à l'aide d'un système automatisé. Pour en vérifier le réglage, on prélève au hasard 80 boites et on pèse la masse M du contenu, exprimée en grammes. Les effectifs cumulés croissants sont représentés par la courbe.
La répartition est supposée uniforme à l'intérieur de chaque classe.
Sur mon livre on a tracé une courbe masse en abscisses et effectifs cumulés en ordonné tel que les points sont :
[480;0] [500;12] [510;57] [520;75] [530;76] [540;78] [550;80]
On nous informe que
le premier quartile doit être supérieur à 500 g
l'écart interquartile ne doit pas excéder 10 g
On se propose de calculer une approximation de Q1
Q1 correspond au quart de l'éffectif ( e.c.c.=20)
Il s'agit donc de déterminer l'antécédent de 20 par la fonction affine représenté sur l'intervalle [500;510[
Le graphique illustre la situation.
a) Justifiez que cette fonction affine est définie par m--> 4.5M-2238
b) Résolvez l'équation 4.5M-2238=20
déduisez-en une valeur approchée de Q1 à0.1g près.
De même calculez q3 à 0.1g près
La condition sur l'interquartile est-elle vérifiée ?

ps : il y a un petit commentaire en dessous de l'exo qui dit : " La méthode utilisée s'apelle << L'interpolation linéaire >> " or nous n'avons pas étudié ca. En attendant je vais vous faire part de mes recherches , merci de pouvoir m'aider par la suite.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Maude,

Tu peux appliquer l'interpolation linéaire car tu l'as étudiée en troisième sous l'appellation Théorème de Thalès :
Appelle A le point de coordonnées (500, 12) ; B le point (510, 57) ; C le point (510, 12), D le point (510, 20) et E le point d'intersection du segment [AB] et de la parallèle à l'axe des abscisses passant par D, donc E a pour coordonnées (Q1 ; 20) puisque 20 correspond au quart de 80.
Considère les triangles BDE et BCA, ils sont dans une configuration de Thalès, donc tu as \(\frac{BD}{BC}=\frac{ED}{AC}\).
Tu as BD= 57-20 = 37 ; BC= 57 - 12 = 45 ; AC = 510 - 500 = 10 et DE = 510 - Q1. Remplace et déduis-en Q1.
Adapte la méthode pour Q3.
Calcule Q3 - Q1 et conclus pour la condition sur l'inter quartile.

Bonne continuation.

[MAUDE]

Je n'ai pas vraiment résolus des exercices avec cette manière pourriez-vous m'en donner une autre pour essayer de résoudre cet exercice merci bcp.

[SoS-Math(2)]

Bonsoir,
Maud, il faut répondre aux questions comme elles sont posées les unes après les autres sans vous préoccuper du nom de la méthode
La première question consiste à montrer que la droite passant par A [500;12] et B[510;57] représente bien la fonction affine f(m)= 4,5m - 2238.
Pour cela vous calculez f(500) et f(510) et vous devez trouver 12 et 57 comme résultat.
Bon courage

[Maude]

Me revoilà , alors :
La droite passant la droite passant par A [500;12] et B[510;57] représente bien la fonction affine f(m)= 4,5m - 2238.
Je le prouve en calculant f(500) et f(510).
f(500) = 4,5 X 500 - 2238
= 2250 - 2238
= 12 Je retrouve bien les coordonnées de A [500;12]


f(510) = 4,5 X 510 - 2238
= 2295 - 2238
= 57 Je retrouve bien les coordonnées de B [510;57]

Donc La droite passant la droite passant par A [500;12] et B[510;57] représente bien la fonction affine f(m)= 4,5m - 2238.

b) Ensuite pour la quest° petit b " Résolvez l'équation 4.5M-2238=20
déduisez-en une valeur approchée de Q1 à0.1g près."

Je résous l'équation : 4.5M-2238=20
4.5M= 20+2238
4.5M= 2258
M=2258 / 4.5
M= 501.7777778
M=501.8
Valeur approchée de Q1 à 0.1 g près est 501.8g.
Je fais de même pour calculé Q3 sauf que l'équation à résoudre est celle-ci : 4.5M-2238= 60

Je résous l'équation : 4.5M- 2238 = 60
4.5M= 2238 +60
4.5M= 2298
M= 2298/ 4.5
M = 510.6666667
M=510.7
Valeur approchée de Q3 à 0.1 g près est 510.7 g.


Question 3" La condition sur l'interquartile est-elle vérifiée ?"
Interquartile = Q3-Q1
interquartile = 510.7 - 501.8
Interquartile = 8.9

"l'écart interquartile ne doit pas excéder 10 g " La condition est vérifiée car l'interquartile est de 8.9 g et elle n'excéde pas 10g.


J'ai juste ommis d'afficher une autre question qui est Graphiquement à quel classe appartient Q1 ? Je ne comprends pas ce que cela veut dire.
Si vous pourriez si mes résultats sont correctes et mes valeurs approchées de même ! Merci beaucoup SoS-Math(2) !

[SoS-Math(9)]

Bonjour Maude,

Ce que vous avez fait semble correcte.

Les classes pour votre exercice sont les intervalles suivants : [480; 500]; [500; 510] ...

SoSMath.

[Maude]

Q1 appartient-il à la classe [500;510] ??
C'est ma réponse merci!

[SoS-Math(9)]

Oui Maude !
Car Q1 = 501,8.

SoSMath.

[Coralie]

Oui, moi aussi, j'ai trouvé ca!