Fonction auxilaire

[Camille]

Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour mon exercice.
Voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie sur [0;+infini[ par f(x)=(15-2x)x+9x.

1. Déterminer la limite de f en +infini
2. Soit g la fonction définie sur [0;+inifini[ par g(x)=18x-6x+15
a. Déterminer la limite de g en +infini.
b. Etudier le signe de la dérivée de g
c. Dresser le tableau de variation de g
d. Résoudre l'équation g(x)=0 dans [0;+infini[
A l'aide d'une calculatrice, on donnera une valeur approchée à 10-3 près de la solution.
e. En déduire le signe de g sur [0;+inifini[.
3. Démontrer que pour tout réel x > 0, f'(x)= g(x)/2x.
4. Etablir enfin le tableau de variations de f.

Ce que j'ai fais :
1. limx->+inifini 15-2x=-infini
limx->+infini x-9x=+infini
donc limx->+infini f(x)=-infini

2-
a.limx->+18x=+infini
lim limx->+-6x+15=-infini
On a donc une forme inderterminée

b.g(x)= u(x)+v(x)
u(x)=18x u(x)'=9/(x)
v(x)=-6x+15 v(x)'=-6

u(x) est dérivable sur ]0;+infini[
v(x) est dérivable sur R
donc g'(x) est dérivable sur ]0;+infini[

g'(x)=9/(x)-6
x 0 9/4 +
signe de g' + 0 -
variation de g i | !


i = croissance
!= décroissance

d. 18x-6x+15 = 0
x = (14+319)/2
x = 13.54

Avec la calculatrice a=13,538
13.538 < a < 13.539

e. On remarque que 9/4 < a
Signe de g sur [0;+infini[

g(x)>0 sur [0;a[
g(x)<0 sur ]a;+infini[

Je demande que l'on vérifie mes calculs pour cette partie, et éventuellement completer et corriger mes résultats.
Pour les questions 3 et 4 je n'y arrive pas.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Camille,

Pour la première question : Pourquoi regroupes-tu x-9x ? dans ton énoncé, x est en facteur avec (15 - 2x) et il y a 9x ...

Si u(x) = 18x sa dérivée est 18 ! Je ne comprend pas 9/x

Peux-tu me préciser ta solution pour que je puisse t'aider efficacement ?

A tout de suite sur le forum.

[Camille]

Oh excusez-moi, il y a une erreur dans mon énoncé, les deux fonctions sont
f(x)= (15-2x)\(\sqr{x}\)+9x
et g(x) = 18\(\sqr{x}\)-6x+15

et pour la question trois on a : Démontrer que pour tout réel x > 0, f'(x)= g(x)/2\(\sqr{x}\)

Donc pour mes limites, il faut rajouter la racine devant les chiffres où elles le sont normalement.
Encore désolée, coordialement.

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

OK pour la limite de f en + l'infini. Si tu mets \(x\) en facteur dans \(g(x)\) tu lèves l'indétermination car la limite en + l'infini de \(\frac{\sqrt{x}}{x}\) est nulle.
Pour la dérivée de g OK,pour le sens de variation et pour la solution de \(g^,(x)=0\) OK. Pour le signe de \(g(x)\) OK.

Pour calculer \(f^,(x)\) tu commences par faire la dérivée d'un produit puis tu ajoutes celle de \(9x\) : \(f^,(x) =(-2)\sqrt{x}+(15-2x)\frac{1}{2\sqrt{x}}+9\) réduis au même dénominateur simplifie et conclus.
Le signe de \(f^,(x)\) est celui de\(g(x)\) puisqu'une racine est toujours positive.

Bonne continuation