Moyennes arithmetique et geometrique

[Mathilde Ts]

bonsoir,
on a : a et b sont deux réels tels que 0\(leq\) a \(leq\) b .Les suites (Un) et (Vn) sont definies par Uo= a et Vo= b et pour tout entier n :
\(\u_{n+1}\) = \(\sqrt{Un.Vn}\) et \(\V_{n+1}\) = (Un+ Vn ) /2
avec Un et Vn positives.
1-prouver que Un \(\leq\) Vn
2-a)Demontrer que pour tout n, \(\v_{n+1}\) \(\leq\) 1/2( Vn - Un)
b)deduisez-en que Vn - Un \(\leq\) (1/2^n) (b-a)
3-Prouver que les suites sont adjacentes.
j'arrive pas a repondre aidez moi s'il vous plait

[SoS-Math(11)]

Bonjour Mathilde,

La suite \(u_n\) est la suite formée par les moyennes géométriques (\(g=\sqrt{2ab}\)) des termes précédents et la suite \(v_n\) est la suite formée par les moyennes arithmétiques (\(m=\frac{a+b}{2}\)) des termes précédents.
Question 1 : Calcule \(m-g\) et vérifie que \(m-g =\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\) et déduis-en que \(m-g\geq{0}\) applique ceci à \(u_n\) et à \(v_n\)et conclus.

Question 2 a) il manque une partie de la question, à me renvoyer l'énoncé.

Bon courage pour le début, à bientôt sur le forum

[mathilde]

...2) a ) démontrer que pour tout n ,
\(\V_{n+1}\) - \(\U_{n+1}\)\(\leq\) 1/2 ( Vn - Un)
b) deduisez-en que Vn - Un \(\leq\) (1/2^n) (b-a)
Voila :)

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Mathilde,

Je pense que tu dois démontrer que \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq\frac{v_n-u_n}{2}\).

Si tu fais la différence : \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq\frac{v_n-u_n}{2}\) tu obtiens après simplifications : \(u_n-\sqrt{u_nv_n}\), utilises le résultat de la question 1 pour conclure.
Le 2b s'obtient par récurrence.
Pour le 3) tu as d'après le 2b \(\lim_{n \to +\infty}(v_n-u_n)=0\), démontre ensuite que \(u_n\) est croissante et \(v_n\) décroissante pour finir.

Bon courage

[mathilde]

je n'arrive pas a finir la recurrence :
V_(k+1) - U(k+1) \(\leq\) (Vk-Uk)/2

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Tu as \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq{\frac{v_n-u_n}{2}\) puis \(v_{n}-u_{n}\leq{\frac{v_{n-1}-u_{n-1}}{2}\) donc\(v_{n+1}-u_{n+1}\leq{\frac{v_{n-1}-u_{n-1}}{4}\) et ainsi de suite : \(v_{n+1}-u_{n+1}\leq{\frac{v_{n-2}-u_{n-2}}{8}\) ... En descendant jusqu'à l'indice 0 cela va te donner la relation voulue.
Ce n'est pas une vraie démonstration par récurrence.

Bonne continuation

[mathilde]

apres on nous dit que a=2 et b=5 , determinez la limite commune des suites a 10^-3 pres.Je sais que puisqu'elles convergent alors elles ont la meme limite.mais je ne sait pas comment la trouver

[SoS-Math(11)]

Calcules les premiers termes de la suite, dès que tu trouves un écart inférieur à 0,001 tu as un encadrement de la limite. (il n'y en a pas beaucoup à calculer)

Bon courage