Suites

[Vincent]

Bonsoir, j'ai un exo de maths où je bloque un peu.
Soit(Un) la suite définie par : \(u_{0}\) = 1 et \(u_{1}\) = 1, et, pour tout n entier naturel n, \(u_{n+2}\) = \(u_{n+1}\) + \(u_{n}\)

1) Calculer les dix premiers termes de (\(u_{n}\))
Démontrer que (\(u_{n}\)) est strictement positive et croissante.
2) On définit la suite (\(w_{n}\)) par :
pour tout entier n, \(w_{n}\) = \(u_{n+1}\) / \(u_{n}\)
a) démontrer que la suite (\(w_{n}\)) est strictement positive et croissante.
(On pourra étudier les quotients \(w_{n+1}\) / \(w_{n}\)
b) Démontrer que (\(w_{n}\)) est majorée par 2.
3) Démontrer, que pour tout entier naturel n, on a :
\(w_{n+2}\) = 1+ 1/\(w_{n}\)
4) Calculer w= lim \(w_{n}\) lorsque n tend vers +oo

Voilà ce que j'ai commencé à faire:
1) \(u_{2}\)=2
\(u_{3}\)=3
\(u_{4}\)=5
\(u_{5}\)=8
\(u_{6}\)=13
\(u_{7}\)=21
\(u_{8}\)=34
\(u_{9}\)=55

Pour la croissance et le signe, notre professeur nous a dit qu'il fallait faire une récurrence:
On pose pour tout n appartenant à N*, (Hn): \(u_{n}\) >0 et \(u_{n}\) >(ou égal) \(u_{n-1}\) et \(u_{n-1}\)>0.

Initialialisation : pour n =1,

\(u_{1}\)=1 et 1>0
De plus \(u_{0}\)=1 donc \(u_{0}\)>(ou égal)\(u_{1}\)
et \(u_{0}\)>0
Donc (H0) est vraie
Hérédité
On veut prouver que pour tout appartenant à N* : ((Hn) =>(Hn+1)).
On suppose que (Hn) est vraie ;
on veut en déduire que (Hn+1) : \(u_{n+1}\)>0 et \(u_{n+1}\)> \(u_{n}\) et \(u_{n}\)>0
On a : c’est ici que je bloque, je pense que \(u_{n}\)>0 d’après (Hn) mais ensuite je ne vois pas du tout.

2a) Je ne vois pas trop non plus.
Pour la 2b) je pense qu’il faut aussi faire une récurrence grâce à la 2a) on a démontré que (\(w_{n}\)) est croissante donc on pourrait faire une récurrence : (\(u_{n}\))>1.
3)4) Je ne vois pas non plus.

Merci d’avance pour un peu d’aide
Vincent.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Ce sujet a déjà été traité, voir forum de Terminale "Suite de Fibonaci"

Bonne continuation