QUESTIONS SUITES

[Cédric]

Bonjour,
Soit f une fonction continue, strictement croissante sur l'ensemble des réels positifs et de limite 2 en l'infini.
Soit u(n) une suite telle que u(0) est positif et pour tout n, u(n+1) = f(u(n)).
On suppose que u(0) est inférieur ou égal à u(1).

Je peux affirmer que u(n) est croissante (par récurrence).
Je peux affirmer que u(n) est convergente ( car croissante et majorée par max( u(0) ; 2) ) et sa limite est le nombre positif x vérifiant l'égalité f(x)= x (tous les termes sont positifs et par passage à la limite en utilisant la continuité).

Je ne peux pas dire que la limite de u(n) est 2.

Ai-je raison pour tout ?

Merci d'avance,
Cédric

[SoS-Math(7)]

Bonsoir,

Ce que vous avez dit est juste.
Un est majorée par 2 ; en effet U(0) ne peut pas être supérieur à 2. f est croissante et sa limite est 2 donc f(x) inférieur à 2. La condition U(0) inférieur ou égal à U(1) implique que U(0) est inférieur à 2.

Bonne continuation.

[CIRDEC]

Bonjour,
merci beaucoup.
Aurions-nous bien les mêmes conclusions avec f seulement croissante au lieu de STRICTEMENT croissante (je ne vois pas l'intérêt d'une stricte croissance).
Cordialement,
Cédric

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Cédric,

Non, les résultats peuvent être différents si la fonction croit sur R mais pas localement, on peut imaginer un fonction qui croit vers 2, avec une suite qui ne sera pas croissante.
Ce type de fonction peut être du type \(\frac{sin(x)}{2x}+\frac{2x}{x+1}\) , globalement la fonction croit, \(u_1<u_0\) mais \(u_4<u_2\), la suite n'est pas strictement croissante.

Bon week-end