Dérivation

[Ninon]

Bonjour,
L'exercice qui me pose problème est un exercice type "vrai ou faux ?" à justifier.
Certaines affirmations me posent problème..

1) La dérivée d'une fonction polynôme de degré n est une fonction polynôme de degré (n-1).
Vrai. La fonction f(x)=\(x^{n}\) avec n \(\in\) N* a pour dérivée n\(x^{n-1}\). Il en résulte que la dérivée d'une fonction de degré n a toujours pour degré n-1.

2) f est une fonction telle que f(2)=1. Alors f'(2)=0.
Faux. Si f est croissante ou décroissante sur un intervalle I (2\(\in\)I), alors f'(2) \(\geq\) O ou f'(2)\(\leq\)O. f peut être constante sur cet intervalle I mais pas obligatoirement, donc l'affirmation est fausse.

3) Deux fonctions dérivables sur R qui ont même dérivée sont égales.
Je pense que l'affirmation est vraie mais je ne sais pas comment justifier.

4) Si une fonction f dérivable sur R a pour période 2\(\pi\), alors f' a pour période 2\(\pi\).
Je pense que c'est faux car une fonction et sa dérivée ont une représentation graphique qui ne se ressemble pas donc elle n'ont pas la même période. Mais je ne vois pas comment justifier de façon mathématique.

5) Si f est une fonction impaire dérivable sur R, alors f' est une fonction paire.
Je ne vois vraiment pas comment faire.

6) La dérivée de la fonction x ->\(\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}\) est la fonction x -> 1.
On a u=\(x^{2}\)-3x+2
u'= 2x-3
v=x-1
v'=1
\(\frac{(2x-3)(x-1)-(x^{2}-3x+2)}{(x-1)^{2}}\)
=\(\frac{2x^{2}-2x-3x+3-x^{2}+3x-2}{(x-1)^{2}}\)
=\(\frac{x^{2}-2x+1}{(x-1)^{2}}\)
=\(\frac{(x-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\)
=1
Donc l'affirmation est vraie.

En vous remerciant par avance de bien vouloir m'aider.

[SoS-Math(4)]

Bonsoir,

1)2) d'accord

3) examine f(x)=x² et g(x)=x²+1

4)je pense que c'est vrai, si la courbe se répètent alors les coefficients directeurs de tangente aussi.

5) F est impaire donc pour tout x , f(-x)=-f(x)
Si on dérive cette égalité on obtient - f '(-x)=-f '(x)donc f '(-x)= f '(x) donc f ' est paire

6) Attention la fct n'est pas définie sur IR.

sosmaths

[Ninon]

Merci de votre aide.

3) merci pour l'indice
Je mettrai: Faux car si on compare une fonction g(x) et une fonction h(x) qui est la fonction g(x) à laquelle on ajoute une constante, on observe que ces deux fonctions différentes ont la même dérivée.

4) Je ne comprends pas bien quand vous dites: "si la courbe se répètent alors les coefficients directeurs de tangente aussi." La courbe d'une fonction et la courbe de sa fonction dérivée n'est-t-elle pas différente ?

5) Dans l'égalité, je ne comprends pas comment vous avez dérivé f(-x) en - f '(-x).

6) Ok.. L'affirmation est fausse. La fonction n'est pas dérivable en 1 donc la fonction dérivée ne peut pas être la fonction x ->1.

Merci d'avance.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ninon,

Pour le 3 et le 6, c'est bon.

Pour le 4 et 5, on utilise la dérivée d'une fonction composée ...
Tu as du voir que : \((f(ax+b))^,= af^,(ax+b)\).
Donc (f(-x))'=-f'(-x) (ici a=-1 et b=0).
f est \(2\pi\) périodique, donc f(\(2\pi\)+x)=f(x). On dérive : (f(x+\(2\pi\)))' = f'(x) soit f'(x+\(2\pi\))=f'(x) (ici a=1 b= 2*pi).
donc f' est aussi \(2\pi\) périodique.

SoSMath.

[Ninon]

D'accord, merci beaucoup !

[SoS-Math(9)]

A bientôt Ninon,

SoSMath.