Problème sur les équations diférentielles

[Stuart]

Bonjour, j'aimerais qu'on m'aide à résoudre mon problème.

1)On a étudié en laboratoire l'évolution d'une population de petits rongeurs. La taille de la population, au temps t, est noté g(t). On définit ainsi une fonction g de l'intervalle [0;+infini[ dans R. La variable réelle t désigne le temps, exprimé en années. L'unité choisie pour g(t) est la centaine d'individus. Le modèle utilisé pour décrire cette évolution consiste à prendre pour g une solution, sur l'intervalle [0;+l'infini[, de l'équation différentielle (E1) y'=y/4.
a)Résoudre l'équation différentielle (E1)
b)Déterminer l'expression de g(t) lorsque, à la date t=0, la population comprend 100 rongeurs, c'est a dire g(0)=1.
c)Après combien d'années la population dépassera-t-elle 300 rongeurs pour la première fois ?
2) En réalité, dans un secteur observé d'une région donnée, un prédateur empêche une telle croissance en tuant une certaine quantité de rongeurs. On note u(t) le nombres des rongeurs, en centaines, vivants au temps t ( exprimé en années) dans cette région, et on admet que la fonction u, ainsi définie, satisfait aux conditions :
(E2) : {u'(t) = u(t)/4 - u(t)/12 pour tout nombre réel t positif ou nul
{u(0) = 1
où u' désigne la fonction dérivée de la fonction u.
a) On suppose que, pour tout réel positif t, on a u(t) >0.On considère, sur l'intervalle [0;+infini[, la fonction h définie par h = 1/u. Démonter que la fonction u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si la fonction h satisfait aux conditions
(E3): {h'(t) = (-1/4)h(t) + 1/12 pour tout nombre réel t positif ou nul,
{h(0)= 1
où h' désigne la fonction dérivée de la fonction h.
b) Donner les solutions de l'équation différentielle y'=(-1/4)y+1/12 et en déduire l'expression de la fonction h, puis celle de la fonction u.
c)Dans ce modèle, comment se comporte la taille de la population étudiée lorsque t tend vers + l'infini ?

Pouvez vous m'aider car je n'ai pas vraiment compris le chapitre sur les equations différentielles
Merci d'avance.

[sos-math(20)]

Bonjour Stuart,

Le but de ce forum n'est pas de faire l'exercice à votre place. Vous devez nous dire ce que vous avez commencé pour que nous puissions vous aider à poursuivre.
Pour la première question, c'est une application directe d'un des résultats du cours : revoyez votre cours et les exemples de votre livre pour tenter de répondre à la question.

Bon courage.

SOS-math

[Stuart]

D'accord ! Pouvez vous juste me dire si pour la première question est que les solutions sont de la forme Ke^((1/4)x) ?
Car pour la question 3 je me mélange entre les t et les x.

[sos-math(20)]

Bonsoir Stuart,

Ici la variable est notée t et non pas x car cela représente un temps (une durée).
Les solutions seront donc de la forme \(Ke^{\frac{1}{4}t}\) où K est un réel quelconque.

Bon courage pour la suite.

SOS-math

[Stuart]

Oh d'accord je n'étais pas sûr de moi merci beaucoup

[Stuart]

Pouvez vous m'aidez pour la question 2) a) car je n'ai pas compris comment répondre à la question juste me donner une piste rien de plus. Merci d'avance

[sos-math(20)]

Bonjour Stuart,

La question 2)a) est de loin la question la plus difficile de l'exercice, mais cela reste une question classique des exercices sur les équations différentielles. Vous devriez commencer par trouver dans votre cours ou dans votre livre une question de ce type résolue afin de mieux comprendre ce qui est demandé.

Néanmoins, pour votre exercice, partez de la fonction h et supposez qu'elle vérifie les conditions (E3) données, puis transformez les écritures afin d'arriver à la fonction u qui elle devra vérifier les conditions (E2).
Au pire, supposez le résultat de cette question connu et poursuivez votre exercice sans faire cette question.

Bon courage.

SOS-math

[Stuart]

Ok ben je vais essayé de me débrouillé. Pouvez vous m'aidez pour la question 1)c) ?
Voilà la question veut dire que g(t)=3 donc je remplace g(t) par e^((1/4)t) = 3 mais a partir de la je ne vois pas comment isolé t pouvez m'aidez ?

[sos-math(20)]

Bonjour Stuart,

Le forum est bien là pour vous aider , mais pas pour faire l'exercice à votre place. Vous avez forcément déjà fait des exercices de ce type avant que l'on vous propose celui-ci.
Pour la question 1)c), je ne vous donnerai que cette information : la fonction ln devrait vous ouvrir des portes.

Bon courage.

SOS-math

[Stuart]

le problème c'est que nous n'avons pas encore fait les fonctions logarithmes en classe et que non nous avons pas encore fait ce genre de questions dans les exercices donc voilà pourquoi je demande de l'aide sur cette question.

[sos-math(20)]

Bonjour,

Si vous n'avez pas encore vu la fonction ln, alors vous pouvez utiliser votre calculatrice pour calculer \(e^{\frac{1}{4}t}\) pour différentes valeurs entières de t jusqu'à trouver le résultat.

Bonne journée.

SOS-math

[Stuart]

D'accord merci beaucoup pour votre aide !!

[sos-math(20)]

Bon courage à vous et à bientôt sur SOS-math.