[1ère S] Dérivées

[Nico]

Bien le bonjour,
Voici une image qui résume bien l'énoncé :

P est la parabole d'équation y=x²
A et B deux points variables sur P
T et L, tangentes de P, passant par A et B et se coupant en J
I le milieu de AB et M milieu de IJ
Et enfin U et la tangente de P passant par M

Il faut prouver que M appartient à U et que AB et U soient parallèles entre elles.
J'ai commencé par écrire que :
I (xi;yi) et que A(a;a²) puis B(b;b²) donc si I milieu de AB alors xi =\(\frac {a+b} {2}\) et yi=\(\frac {(a^{2}+b^{2})} {2}\)
Mais je n'arrive pas à prouver que M \(\in\) U et que AB\(\backslash \backslash\)U

Pourriez vous m'aider, je vous en serais reconnaissant.
Merci

[sos-math(22)]

Bonsoir Nico,

Il y a certainement une faute de frappe dans l'énoncé que tu as recopié.

Si je comprends, bien il faut lire :

Et enfin U EST (et non pas ET) la tangente de P passant par M

Est-ce bien cela ?

Si tel est le cas, il est donc évident que M appartient à U.

Il reste donc à démontrer que U et (AB) sont parallèles.

Pour cela, je te conseille :

1) de calculer le coefficient directeur de la droite (AB) ;

2) de calculer également le coefficient directeur de U, sachant que le coefficient directeur d'une tangente en un point est égal au nombre dérivé en ce point.

Tiens-moi au courant de l'avancement de tes recherches.

Bon courage.

[Nico]

Oui effectivement c'est bien un EST,
pour la démonstration de M \(\in\) U je crains qu'il faille la prouver par des calculs. C'est ça le problème...
Sinon merci beaucoup pour la méthode de résolution des deux droites parallèles je devrais pouvoir m'en sortir,

[sos-math(22)]

Mais non. Si tu préfères, U est la tangente à la parabole P au point M.
On a donc nécessairement M \(\in\) P.
Merci de me tenir informé de la suite.
Bon courage.

[Nico]

J'ai fait mes petits calculs qui je pense ne sont pas bons :
le coefficient d'une droite c'est bien \(\frac {Yb-Ya} {Xb-Xa}\), alors si l'on s'en tient à cette formule et les coordonnées du premier post je trouve \(\frac {b^{2}-a^{2}} {b-a}\) donc le coefficient directeur c'est bien b+a.
Par contre je suis désolé mais je ne comprends pas "le nombre dérivé en ce point"

[sos-math(22)]

Pour la droite (AB), c'est bien.

Pour la droite U, il te faut utiliser le fait qu'il s'agit de la tangente à P au point d'abscisse \(\frac{a+b}{2}\).

Comprends-tu ?

Non ?

Alors reprends la définition du nombre dérivé dans ton cours : il te faut faire le lien entre la notion de nombre dérivé et celle de coefficient directeur.

Bon courage.

[Nico]

J'ai regardé attentivement et je tombe sur la formule \(\frac {f(a+h)-f(a)} {f(h)}\), mais je ne comprends pas comment l'utiliser ...

[sos-math(22)]

non, c'est plutôt : \(\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\), mais bref, revenons à notre sujet...

le nombre dérivé en a est égal au coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d'abscisse a.

ainsi f ' (a) est aussi le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d'abscisse a.

comprends-tu ?

[Nico]

Désolé pour ce qui va suivre....

OUAAAAAAAAAAAAAAAAIS j'ai (sûrement) trouvé :
Si la dérivée de la fonction \(x^{2}\) c'est 2x, alors son coefficient directeur au point d'abscisse \(\frac {a+b} {2}\)
c'est f '\(\bigg(\frac {a+b} {2}\bigg)\)= 2 * \(\frac {a+b} {2}\) = a+b c'est donc bien le même coefficient directeur.

Si cela est bon, alors merci infiniment de votre aide.

[sos-math(22)]

Très très bien...
Bonne continuation.