PGCD - divisions euclidiennes

[alexis]

n est un entier relatif quelconque; a=n^3-2n+5 b=n+1

1) vérifier que pour tout entier relatif n : a=(n²-n-1)b+6

2) Démontrer que PGCD(a;b)=PGCD(b;6)
3) Pour quelles valeurs de n, a-t-on PGCD (a;b)=3 ?
4) déterminez n pour que le nombre a/b soit un entier relatif

Donc pour la 1) je suppose qu'il faut factoriser et essayer de trouver n+1 dans l'expression de a
pour le deux il faut utiliser la division euclidienne, car si a= bq +r alors pgcd(a;b)=pgcd(b;r) et donc il est peut-être possible d'utiliser les congruences ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour le 1) le plus simple est de partir de l'expression de droite que l'on propose, (n²-n-1)b+6, de la développer pour retomber sur a...
Pour la suite : il faut montrer que a et b ont les mêmes diviseurs commun que b et 6.
Pour prouver cela, on prend un diviseur d commun à a et b, il divise a et il divise b donc il divise a et (n²-n-1)b donc il divise leur différence a-(n²-n-1)b=6 donc c'est aussi un diviseur de 6 (et de b).
On fait la réciproque et les diviseurs communs sont les mêmes donc leur pgcd (qui est le plus grand de ces diviseurs communs) est aussi le même.
Les congruences ne me semblent pas indispensables ici, même si on peut les utiliser (c'est surtout une notation qui est plus synthétique, plus algébrique)

[alexis]

Merci beaucoup pour la question 1 et 2, mais pour les deux suivantes est-ce que je dois essayer plusieurs valeurs de n ?

[sos-math(21)]

on sait que pgcd(a;b)=pgcd(b;6) donc pgcd(a;b)=3 équivaut à pgcd(b;6)=3, ce qui signifie que b est divisible par 3, mais pas par 2 (car sinon il serait divisible par 6).
Donc b est un multiple impair de 3, de la forme 3(2k+1).
a/b est entier signifie que a est divisible par b, ce qui se traduit aussi par pgcd(a;b)=b. A toi de poursuivre...