Encore des complexes...

[Marine]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice à rendre pour lundi, et je suis complètement bloquée. Voici l'énoncé :

z est un complexe tel que z n'est pas égal à -2i. On pose Z=(z-3-i)/(z+2i).
Dans chacun des cas, précisez l'ensemble des points m d'affixe z tels que le point M d'affixe Z vérifie la condition indiquée.
1) M est sur le cercle de centre O et de rayon 1.
2) M est sur le cercle de centre O et de rayon 2.
3) M est sur le demi-axe ]Oy).

Comment fait-on pour trouver ces ensembles de points m ?
Merci de m'aider au plus vite :)
Marine.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Marine,

Voici un début pour t'aider :
Pour commencer il choisir les points A et B d'affixe respective 3+i et -2i.
1) M est sur le cercle de centre O et de rayon 1 <=> OM = 1 <=> |Z| = 1 .... à toi de continuer.

Bon courage,
SoSMath.

[Marine]

Soient A le point d'affixe zA et B le point d'affixe zB.

OM=1 <=> |Z|=1 <=> |(zA/zB)| =1 <=> |zA|/|zB| = 1 <=> (3+i)/(2i) =1 ?

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
Ce n'est pas cela.
\(|Z|=1\) donc\(\frac{|z-(3+i)|}{|z--2i|}=1\)
\(\frac{|z-(z_A)|}{|z-z_B|}=1\)

A vous de continuer .....

[Marine]

Ah je vois !

Donc, |z-zA|=|z-zB|
donc le point m se trouve à égale distance des points A et B.
L'ensemble des points m est donc la bissectrice du segment [AB].

C'est bien sa ?

[Marine]

Vous pouvez m'aider pour la question 2 ?
J'ai compris pour la 1, mais je n'arrive pas à faire la 2ème, ni la 3ème...

Merci pour votre patience :)
Marine

[sos-math(21)]

Bonjour,
J'arrive en cours de sujet.
tu as obtenu pour la première question : \(|z-z_A|=|z-z_B|\) ce qui se traduit bien par mA=mB, ce qui signifie que m doit être à égale distance des extrémités du segment [AB] et donc il est sur sa médiatrice ! (la bissectrice c'est pour un angle).
Pour le deuxième c'est globalement la même démarche tu obtiens mA=2mB. Cela ne te rappelle rien en première ? Si je te dis ligne de niveau ?
Pour amorcer la résolution, élève tout au carré \(mA^2=4mB^2\) puis passe aux normes de vecteurs \(||\vec{mA}||^2-||2\vec{mB}||^2=0\) puis
au produit scalaire \((\vec{mA}+2\vec{mB}).(\vec{mA}-2\vec{mB})=0\) puis tu introduis un point I barycentre d'une certain système, que tu intercales dans chaque vecteur entre parenthèse.
Tu as déjà dû faire cela

[Marine]

Oh les barycentres, c'est très loin ^^

En fait, après avoir mis sous la forme de produit scalaire, je ne vois pas comment je peux intégrer un barycentre...

[sos-math(21)]

C'est peut-être loin mais pour moi c'est encore plus loin (je dirais 15 ans) et cela semble inévitable ici :
Un petit peu d'aide : tu intercales un point I et un point J candidats avec chasles dans ton équation :
\((\vec{mI}+\vec{IA}+2\vec{mI}+2\vec{IB}).(\vec{mJ}+\vec{JA}-2\vec{mJ}-2\vec{JB})=0\) soit en regroupant :
\((3\vec{mI}+2\vec{IB}+\vec{IA}).(-\vec{mJ}+\vec{JA}-2\vec{JB})=0\) Pour que des choses s'arrangent il faut choisir I=bar((A,1),(B,2)) et J=bar(A,1),(B,-2)) comme ça les vecteurs donnent une somme nulle et on a :
\(3\vec{mI}.\vec{mJ=0\), ce qui signifie que m est sur le cercle de diamètre [IJ] (propriété de l'angle inscrit).
I et J sont facilement positionnables (cela je te laisse faire) et voilà l'histoire

[Marine]

D'accord !! Ça me revient maintenant les barycentres :)

Pour la question 3, M est sur ]Oy). Là non plus, je ne vois pas comment faire...

Merci beaucoup pour votre aide !!

[Marine]

D'accord !! Ça me revient maintenant les barycentres :)

Pour la question 3, M est sur ]Oy). Là non plus, je ne vois pas comment faire...

Merci beaucoup pour votre aide !!

[sos-math(21)]

M est sur [Oy) signifie que son affixe est imaginaire pure donc au choix cela se traduit par Re(Z)=0 ou alors (ce qui à mon avis sera plus fécond) \(\bar{Z}=-Z\) (complexe égal à l'opposé de son conjugué)
Traduis cela avec le quotient définissant Z.

[Marine]

Zbarre = (z+3+i)/(z-2i) ? Je suis pas sûre...

[sos-math(21)]

Non, les conjugués transforment les parties imaginaires en leurs opposées :
\(\bar{Z}=\frac{\bar{z-3-i}}{\bar{z+2i}}=\frac{\bar{z}-3+i}{\bar{z}-2i}\)

[Marine]

Ok donc (zbarre -3+i)/(zbarre -2i) = (-z+3+i)/(z+2i) ?
Et ensuite, on fait quoi ?