Suites

[Nikita]

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice alors j'aimerais bien qu'on m'aide s'il vous plaît :
Soit la suite U(n) définie par U(0)=3 et U(n+1)=$\frac{2}{1+U(n)}$
1.Démontrer que pour tout entier naturel n U(n) est compris entre 0 et 3.
2.On considère alors la suite auxiliaire V(n) définie par V(n)=$\frac{U(n)-1}{U(n)+2}$
a)Démontrer que V(n) est bien définie.
b)Démontrer que la V(n) est géométrique.
c)Exprimer V(n) en fonction de n.
d)En déduire l'expression de U(n) en fonction de n, puis la limite de U(n).

Je n'ai réussi que la question 2.a).
Je ne sais pas comment faire la 1. et pour la 2.b) j'ai essayé de faire V(n+1)-V(n) mais je n'arrive à rien.

Merci beaucoup.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Pour la première question fais un raisonnement par récurrence :
Condition initiale : U(0) est bien inférieur ou égal à 3
Hérédité : Si 0 < u(p) < 3 alors ...
Encadre ensuite $u(p)+1$ puis $\frac{1}{1+u(p)}$ et enfin $\frac{2}{1+u(p)}$ et conclus.

Pour le 2b) Calcule V(n+1) avec U(n+1) et remplace U(n+1) par la formule qui le défini, tu dois retomber sur V(n) multiplié par un nombre q.

Pense alors que $V_n={V_0}\times{q^n}$.
Ensuite ce n'est que du calcul algébrique ...

Bon courage.

[Nikita]

Bonsoir et merci de votre aide,

Je n'arrive pas à faire la récurrence, pour l'héridité j'ai:
1$\leq$ U(n)+1 $\leq$4
1$\leq$ $\frac{1}{1+U(n)}$ $\leq$ $\frac{1}{4}$
2$\leq$ $\frac{2}{1+U(n)}$ $\leq$ $\frac{1}{8}$ .Et donc c'est faux... :/

Et pour la question 2.b) c'est normal si je trouve V(n+1)=$\frac{4+2U(n)}{1+U(n)}$ ? Mais je n'arrive pas à trouver q avec ça.

Merci beaucoup.

[SoS-Math(11)]

Re bonsoir,

Si $a<b<c$ alors $\frac{1}{c}<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$, vérifie tes encadrements, de plus on dit inférieur ou égal à 3, si on trouve plus petit que 2 alors c'est bon car 2 < 3 !

Pour $V_{n+1}$ il y a une erreur de calcul, toutefois on trouve bien à un moment [ TeX] 4+2U_n[/TeX] qui peut s'écrire $2(U_n+2)$ ce qui peut donner une partie du coefficient, celui-ci est négatif.

Bon courage

[Nikita]

Bonjour,
J'ai réussi les questions b) et c) avec vos explications mais je n'arrive pas à faire la suite.
Je trouve la formule explicite de V(n): V(n)=$\frac{2}{5}$ x ($\frac{-1}{2}$)^n .Mais ensuite je n'arrive pas à trouver la formule de U(n).
Est-ce qu'il faut faire comme ça : V(n)= $\frac{-1}{2}$ x U(n-1) ? Mais je n'ai toujours pas de U(n) pour pouvoir l'isoler.

Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Bonjour,
Je prends le sujet en route.
Tu as trouvé la formule explicite pour $v_n$ et tu sais que $v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}$.
Tu as donc $v_n$ en fonction de $u_n$, il s'agit donc "d'inverser" la relation :
$v_n=\frac{u_n-1}{u_n+2}$ donne $v_n\times\,(u_n+2)=u_n-1$, on regroupe les $u_n$ dans un même membre, on factorise et on obtient $u_n=\mbox{quelque chose en fonction de }v_n$

[Nikita]

Bonjour, j'ai essayé de faire comme vous m'avez dit mais je n'y arrive pas.

Je pars de V(n) x (U(n) +2)= U(n) -1
V(n) x (U(n) +2) - U(n) = -1
(U(n) +2) - U(n) = -$\frac{1}{V(n)}$

$\frac{2}{1+U(n+1)}$ - U(n) = -$\frac{1}{V(n)}$

-$\frac{1-U(n+1)}{1+U(n+1))}$ = -$\frac{1}{V(n)}$ . Et donc c'est faux.

Merci.

[sos-math(21)]

On reprend :
$v_n(u_n+2)=u_n-1$
soit en développant :
$v_n.u_n+2v_n=u_n-1$ soit en passant les $u_n$ de l'autre côté :
$v_n.u_n-u_n=-1-2v_n$ donc en factorisant par $u_n$ :
$u_n.(v_n-1)=-1-2v_n$ puis on divise et on arrange en multipliant par -1 en haut et en bas :
$u_n=\frac{-1-2v_n}{v_n-1}=\frac{2v_n+1}{1-v_n}$
Tu m'as suivi ?

[Nikita]

Ah d'accord, j'ai tout compris, merci beaucoup.
Ensuite pour trouver la limite de U(n) je dois remplacer V(n) par sa formule c'est ça ?

Mais en faisant ça je n'y arrive pas, j'ai : U(n) = $\frac {1+2*((U(n)-1)/U(n)+2))}{1-((U(n)-1)/U(n)+2))}$
et en faisant ce calcul je retombe sur U(n)=$\frac{3U(n)*(U(n)+2))}{3(U(n)+2)}$
et donc en simplifiant par U(n)+2 (en les barrant en haut et en bas) je trouve U(n)=U(n)...Ce qui ne m'aide pas trop...

Merci.

[sos-math(21)]

Bien entendu, si tu remets l'expression de départ, tu vas tourner en rond.
Non, il faut prendre l'expression de $v_n$ en fonction de n que tu as obtenu dans les questions précédentes(c'est une suite géométrique donc de la forme $v_n=v_0\times\,q^n$),
et c'est avec cela que tu pourras déterminer la limite car tu auras une expression qui ne dépendra plus que de n (un peu comme une fonction qui ne dépend que de x).

[Nikita]

Bonjour,

En faisant comme vous m'avez dit je trouve U(n)=$\frac{(9/5)*(-1)^n}{(3/5)*(-1/2)^n}$.
Mais il faut trouver sa limite en quoi (+00 ...) je n'y arrive pas.

Merci de votre aide.

[sos-math(21)]

Si tu as obtenu que $v_n=\frac{2}{5}\times\left(\frac{-1}{2}\right)^n$, c'est ça ?
Comment se comporte cette suite en $+\infty$ ? C'est une suite géométrique de raison inférieure à 1 en valeur absolue, donc on sait que cette suite tend vers 0 (c'est du cours). Donc comme $u_n=\frac{1+2v_n}{1-v_n}$ comme les $v_n$ tendent vers 0, quelle est la limite de $u_n$.
Remarque : je me base sur ce que tu m'as fourni et il n'y a aucune garantie que cela soit juste : vérifie tous les calculs, je te donne juste la démarche.