Raisonnement par récurrence

[Victor]

Bonsoir, j'ai un problème avec les raisonnements par récurrence, en effet je parvien en général à valider l'initialisation, mais jamais à prouver que la propriété est héréditaire.

Ce soir, il s'agit de prouver que pour tout n \(\in\) N*, \(10^{n}\)-1 est divisible pas 9.

J'ai prouvé que la prouver que la propriété était vraie pour 1 en écrivant que 10-1=9=9x1 donc divisible par 1.

Pour ce qui est de la récurrence, j'ai voulu prouver que \(10^{n+1}\)-1=9p, mais je tourne en rond.

Me voilà donc sur ce forum, en espérant obtenir de l'aide. Merci d'avance

[sos-math(20)]

Bonsoir Victor,

Il s'agit ici d'utiliser une factorisation bien connue (?!) : en tous cas il s'agit d'une factorisation classique que vous aurez l'occasion d'utiliser à nouveau pour ce type d'exercice. La voici :

\(10^{n+1}-1=(10-1)(10^{n}+10^{n-1}+....+10^2+10+1)\)

En développant le terme de droite de l'égalité, vous constaterez que presque tous les termes se simplifient deux à deux.

Bon courage pour la fin de votre récurrence.

SOS-math

[Victor]

Tout d'abord, merci pour votre réponse si rapide.
Je découvre donc cette factorisation sensée être connue et n'arrive vraiment pas a comprendre...
Dans le trou que vous avez laissé y a t-il un ou plusieurs nombres manquant ?
Je ne comprend vraiment pas et sollicite une fois encore votre aide.

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Victor,

Tu suppose que pour le rang n on la propriété "\(10^n-1\) est divisible par 9" est vraie.
Donc il existe un entier k tel que \(10^n-1=9k\).
Tu peux alors multiplier par 10 les deux memebrers de ton égalité .... à toi de terminer !
rappel : "\(10\times{}10^n=10^{n+1}\).

SoSMath.

[Victor]

Problème résolu. Merci.

[SoS-Math(9)]

A bientôt Victor,

SoSMath.