DM fonctions numériques

[Noemie]

Bonjour à tous. J'ai un DM à faire sur les fonctions numériques et je ne suis pas du tout forte à ce sujet. J'espère que vous pourrez m'aider à faire mon exercice.
Merci beaucoup d'avance.

Exercice
On donne trois expressions de l'image f(x) d'un réel x différent de 1 par une fonction f :
(1) f(x)= (3x-1)/(x-1)
(2) f(x)= 3+(2/(x-1))
(3) f(x)=1+(2x/(x-1))

1° Vérifier que ces trois expressions sont cohérentes.
2° Dans chacun des cas suivants, indiquer l'expression qui vous paraît la plus adaptée pour répondre au problème posé.
a) Etudier les variations de la fonction f
b) Resoudre l'équation f(x)=0
c) Résoudre l'inéquation f(x)<1
d) Trouver un encadrement de f(x) lorsque x appartient à l'intervalle [-2;0].

Pour le 1° je pense commencer à développer la (1)

[SoS-Math(9)]

Bonjour Noémie,

Tout d'abord sur ce site nous ne faisons pas les exercices des élèves, nous les aidons à les résoudre.

La question1 semble assez simple ... L'as-tu faite ?

La question 2 est une appication vue en seconde.
Par exemple pour résoudre f(x) = 0 ou f(x)<0 ou f(x) > 0, il est très souvent préférable dravoir une expression factorisée ou une expression d'un qutient où le numérateur et le dénominaeur sont factorisés.
Pour le 2c), utilise f(x) < 1 équivaut à f(x) - 1 < 0.

Bon courage,
SoSMath.

[Noemie]

Ca je le sais, merci.

Alors on développe (2)
3+(2/(x-1)) = 3(x-1)/x-1 + 2/x-1 = 3x-3+2/x-1 = 3x-1/x-1
On retrouve (1)
Puis on développe (3)
1+(2x/x-1) = 1(x-1)/x-1 + 2x/x-1 = x-1+2x/x-1 = 3x-1/x-1
On retrouve aussi (1)
Les 3 expressions sont donc cohérentes.

Pour le 2° je fais un tableau de signe au brouillon puis je met en place mon tableau de variations avec l'expression (1)

[SoS-Math(9)]

Noémie,

Ok pour le 1).

Quel rapport entre le tableau de signe de f(x) et les variations de f(x) ?

SoSMAth.

[Noemie]

Aucun oui ...

je l'ai fait avec 3x-1 / x-1
les flèches descendent tout le temps et 1 est une valeur interdite (même courbe que la fonction inverse)
je ne l'ai pas trouver par calcul, je ne sais pas le faire ...
Je l'ai directement regarder sur la calculette

[SoS-Math(9)]

Noémie,

La calculatrice est un très bon moyen pour faire une conjecture et donc de savoir ce que l'on veut démontrer !

Pour la question 2, on ne te demande pas de trouver la réponse, mais seulement de savoir quelle est l'écriture la plus adaptée pour y répondre.
Je t'ai donné des indications pour la résolution d'équations ou d'inéquations.
Pour les variations, il faut essayer de trouver une expression de f(x) qui te permettent de faire des enchainements (les plus simples possibles) en partant de x pour arriver à f(x).
Exemple : f(x) = (x-1)²-2 = x²-2x-1
Si je prends f(x) = x²-2x-1. En partant de x je peux obtenir x² mais après il est difficile de trouver -2x ...
Par contre en prenant f(x) = (x-1)²-2, on a : x ----> x-1 -----> (x-1)² -----> (x-1)² - 2 = f(x).
Donc la 2ème écriture est adaptée pour étudier les varaitions de f(x).

SoSMath.

[Noemie]

j'ai rien compris ...

[SoS-Math(9)]

Désolé Noémie, mais je ne peux pas reprendre ton cours de 2nde pour t'expliquer davantage ...
Regarde ton cours de 2nde sur les variations des fonctions.

Bon courage,
SoSMath.

[Noemie]

Non mais ce que je veux dire c'est que je ne vois pas pourquoi vous me marquez ca pour m'expliquer mon exercice.
Pour la 2)b) On ne me demande pas le calcul. Donc faire le tableau suffit

[SoS-Math(9)]

Noémie,

On a du mal à se comprendre !
Peux-tu me donner tes réponses aux questions 2a, 2b, 2c et 2d ?

SoSMath.

[Noemie]

pour la 2a : les flèches du tableau de variations descendent (les 2) et 1 est la valeur interdite
pour la 2b : f(x)=0 avec l'expression (1) soit 3x-1=0
3x=1
x=1/3
et x-1=0
x=1
Le reste je ne l'ai pas encore fait

[SoS-Math(9)]

Noémie

le 2a est juste.

2b : Attention : \(\frac{a}{b}=0\) équivaut à \(a=0\ et\ b\neq{}0\).

SoSMath.

[Noemie]

Donc il n'y a qu'une seule solution a l'inéquation alors

[SoS-Math(9)]

Noémie,

Cela s'appelle une équation ... et il y a bien une seule solution. L'autre valeur est une valeur interdite.

SoSMath.

[Noemie]

ok
pour 2)c :
avec l'expression (3)
1+(2x)/(x-1)

x / .........-l'infini ..............1..................2................. +l'infini.......
2x /........... - ....................... - ........... 0..................... + ..........
x-1 / ......... - .................0 ... .+ .................................. + ..........
(2x)/x-1 / .. + ................// ..... - ..................................+ ..........

j'espère que c'est lisible comme tableau de signe ...