calcul de limite

[Aurore]

bonjour,

Déterminer les limites de f(x) en + infini

1) f(x)=sin(x)+1 /(2x)

je fais un encadrement -1< sinx<1
0<sinx+1<2
0<f(x)<2/2x



2) f(x)=(2x+cos(pi/5 -x))/(3x+1)

-v3/2<cospi/5<v3/2
-v3/2-x>cox(pi/5 -x)>v3/2-x
-v3/2 +x> 2x+cos(pi/5-x)>v3/2+x
(-v3/2+x)/3x+1> f(x)>(v3/2+x)/3x+1
(v3/2+x)/3x+1< f(x)<(-v3/2+x)/3x+1


3) f(x)= 2vx-sin(3x+1)

-1<sin3x<1
0<sin(3x+1)<2
0>-sin(3x+1)>-2
-2+2vx<f(x)<2vx


je ne suis pas sure de mes encadrements, si quelqu'un pourrait m'aider, car sa me bloque pour faire la suite.

Merci d'avance!!!

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurore,

1) \(f(x)=sin(x)+\frac{1}{2x}\) ou \(f(x)=\frac{sin(x)+1}{2x}\) ?

2) Tu as écrit :
-v3/2<cospi/5<v3/2
-v3/2-x>cox(pi/5 -x)>v3/2-x ce qui est faux !!!
Rappel : cos(a-b) = cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) ....
Ici utilise le fait que cos est une fonction bornnée sur IR par -1 et 1.

3) Ici il suffit de minorer f(x) par une fonction qui vers +inf en +inf.

Bon courage,
SoSMAth.

[Aurore]

pour la 1) c'est la 2ème c'est à dire f(x)= (sinx +1) / (2x)
dans ce cas mon encadrement est-il bon?

pour la 2) c'est -1< cos( pi/5 -x)<1 j'ai une petite question lorsqu'on a cos(2x+1) ou bien comme dans ce cas cos( pi/5 -x) si on fait un encadrement pour les 2exemples sa serait compris entre -1 et 1
en faite ce qui entre parenthèse sa influence pas ???
donc -1+2x <2x+ cos (pi/5 -x)<1+2x

donc lim -1+2x=+infini et lim 1+2x=+infini
x--->+infini x--->+infini

donc........


pour la 3) je reprends
-1< sin(3x+1) <1
1> -sin(3x+1) >-1
aprés je me demande si c'est bien sa 1+2vx > 2vx -sin(3x+1) > -1+2vx

donc lim 1+2vx =+infini et lim -1+2vx=+infini
x-->+infini x-->+infini

est-ce sa?
Merci d'avance

[SoS-Math(9)]

Aurore,

1) ton encadrement est bon seulement pour x > 0, mais cela suffit car tu veux la limite en +inf.

2) Quelque soit la fonction u, on a toujours -1 =< cos(u(x)) =< 1.
ton encadrement est faux, tu as oublié de diviser par (3x+1) ....

3) C'est juste mais il te reste à conclure sur lalimite de f en +inf.
NB : ici l'encadrement n'est pas une nécessité, il suffit de montrer que \({}-1+2\sqr{x}\leq{}f(x)\)
et comme \(\lim_{x \to +\infty}-1+2\sqr{x}=+\infty\) alors par comparaison \(\lim_{x \to +\infty}f(x)=...\) (à toi de compléter).

SoSMath.