Etude d'une fonction exponentielle

[Hyppo]

Bonsoir,
J'arrive à la fin de mon Dm de Maths mais je bloque sur les deux dernières questions ...
L'énoncé est les suivant:
On considère la fonction numérique f définie sur ]- \(\infty\) ;1[ par f(x)= (\(\frac{2}{(x-1)^2}\) ) \(e^{\frac{x+1}{x-1}}\)

On désigne par (D) la courbe représentative de f dans le plan rapporté à un repère orthonormé (0;i;j), l'unité graphique étant 2cm.

1.a Soit \(X\)=\(\frac{2}{x-1}\) . Prouver l'égalité f(x)= \(\frac{e}{2}\) \(X^2\) \(e^{X}\). En déduire la limite de f quand x tend vers 1 par valeur inférieur.
b.Déterminer la limite de f en -\(\infty\)
c.En déduire une asymptote à la courbe (D)

2.a.Soit v la fonction numérique définie sur ]-\(\infty\);1[ par v(x)=\(e^{\frac{x+1}{x-1}}\) . Calculer v'(x)
b.Démontrer que f'(x)=(\(\frac{-4x}{(x-1)^4}\))\(e^{\frac{x+1}{x-1}}\)
c.Etudier les variations de f

Mes réponses:
1.a. Je viens de voir qu'il fallait prouver l'égalité mais je pense qu'il faut résoudre le polynôme du second degré. Et je trouve comme limite en 1- = 0
b. lim -\(\infty\) = +\(\infty\)
c.la courbe (D) possède une asymptote verticale en 1

2.a. v'(x) = 0
b. Je bloque sur cette question
c. Celle çi découle de la précédente je devrais y arriver dès que j'aurais résolue la b.

Merci d'avance de votre aide.

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

Je ne suis pas d'accord avec vos réponses.

Pour le 1a) il faut penser que \(e^{1+X}=e\times{e^X}\) et aussi que \(\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}\) puis simplifier pour obtenir l'égalité.
Pour la limite c'est \(X\) qui tend vers \(-\infty\), donc en utilisant les théorèmes sur les limites on trouve la limite de f à gauche de 1.
Pour la limite en \(-\infty\), cherchez la limite de \(X\) pour en déduire celle de \(\frac{e}{2} X^2 e^{X}\) puis l'asymptote.

Pour la question 2a) v' n'est pas toujours nulle. Rappel \((e^u)^,={e^u}\times{(u^,)}\).
Utilise cette dérivée pour calculer celle de f qui est du type \((uv)^,=u^,v+uv^,\).
En effet la suite en découle, puisque la dérivée est du signe contraire de x.

Pour vérifier utilise geogebra pour tracer la courbe.

Bon courage

[Hyppo]

Bonjour;
Merci d'avoir répondu à mes questions cependant je n'arrive pas à démontrer l'égalité ...
Mais je trouve une limite quand x tend vers 1 par valeur inférieur = \(-\infty\) car \(X\) a pour limite en 1 par valeur inférieur \(-\infty\)
Pour la limite en \(-\infty\) je trouve 0 on a donc une asymptote à la courbe qui est y=0 en \(-\infty\)

Pour la dérivée de v j'avais juste fais une erreur de calcul au lieu de trouver 0 on trouve \(e^{\frac{x+1}{x-1}}\) donc v=v'
Pour la question b en utilisant la formule on trouve \((\frac{-4x-4}{(x-1)^4})\)\(e^{\frac{x+1}{x-1}}\) \(+(\frac{+4}{(x-1)^4})\)\(e^{\frac{x+1}{x-1}}\)
c-a-d f'(x)=\((\frac{-4x}{(x-1)^4})\)\(e^{\frac{x+1}{x-1}}\)
Par contre pour les variations je trouve que la fonction f est décroissante de \(-\infty\) à 1 puis croissante ?

[SoS-Math(11)]

Bonjour,
Pour l'égalité : on a \(\frac{x+1}{x-1}=\frac{x-1+2}{x-1}=1+\frac{2}{x-1}=1+X\) de plus\(X^2=\frac{4}{(x-1)^2}\), il ne reste plus qu'à conclure.
Quelle est la limite de \(e^X\) quand \(X\) tend vers \(-\infty\) ? Qui donne alors la limite \(X^2\) ou \(e^X\) ?
La limite est donc à revoir.
Je ne suis pas d'accord avec v'=v car \((\frac{x+1}{x-1})^,\) n'est pas égale à 1.
Le signe de la dérivée est celui de -4x car le reste est positif, or -4x > 0 si x < 0, donc il faut revoir le sens de variation.

Bon courage