généralité de fonctions

[Benoît]

Bonjour, j'ai un probleme sur un exercice de généralité de fonctions.Merci d'avance de bien vouloir m'aider.

f est la fontion définie sur I = ]-1 ;+infini[ par :

f(x)= (x-1)(x²+3x+3)/(x+1)²

1) Trouvez trois réels a, b, c tels que, pour tout x de I

f(x) =ax + b/x+1 + c/(x+1)²


2) Déduisez-en que f est une fonction strictement croissante sur I

3)A. Vérifier que, pour tout réel x :
x²+3x+3 = (x+1)² + x +2
et déduisez-en que, pour tout x de I, x²+3x+3/(x+1)² strictement supérieur à 1.
Expliquez pourquoi on peut en déduire que, pour tout réel x tel que x strictement supérieur à 1, f(x) strictement supérieur à x-1.

B. Démontrez que, pour tout x de I, f(x) strictement inférieur à x


Je coince à la question 3 a) et b) :
A la 3a) , je ne vois pas comment déduire et prouvez que parceque x²+3x+3 = (x+1)² + x +2, pour tout x de I, x²+3x+ pas non plus3/(x+1)² strictement supérieur à 1,et je ne vois comment en déduire et prouvez non plus pour tout réel x tel que x strictement supérieur à 1, f(x) strictement supérieur à x-1.

En reguardant la question suivante ,la 3b), je ne vois pas comment prouvez que pour tout x de I, f(x) strictement inférieur à x.

Merci d'avance de bien m'indiquer la marche à suivre.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Si tu écris \(x^2+3x+3=(x+1)^2+x+2\), alors \(\frac{x^2+3x+3}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2+x+2}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2}{(x+1)^2}+\frac{x+2}{(x+1)^2}=1+\frac{x+2}{(x+1)^2}\), comme x>-1, on a \(\frac{x+2}{(x+1)^2}>0\), ce qui justifie que l'expression est supérieure à 1 car elle s'écrit 1+quelque chose de positif.
Après il faut revenir à f : elle s'écrit \(f(x)=(x-1)\times\underbrace{\frac{x^2+3x+3}{(x+1)^2}}_{>1}\) donc on a bien \(f(x)>x-1\)
Pour f(x)<x, réutilise la décomposition du 1; tu dois avoir f(x)=x+quelque chose de négatif donc cela marche