Analyse de fonction

[Vincent]

Bonjour,

J'ai du mal à réaliser cette exercice :

Soit f la fonction définie sur [-1,1] par f(x)= (1-x)*\/¯ (1-x²).
Soit C la courbe représentative de f dans un repère.
1) Démontrer que f est continue sur [-1,1]
>>ma réponse : -soit g(x)=(1-x²); g est continue sur [-1,1]
la fonction racine est continue sur [0,1] donc la composée des deux fonctions est continue sur [-1,1]
-Soit c(x)= (1-x) une fonction affine ; c est continue sur [-1,1]
Le produit de de deux fonctions continue sur [-1,1] est continue sur [-1,1]

2) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en -1
>>ma réponse : lim x->0 (f(x)-f(1)) /x-1 = -1 et lim x->0 (f(x)-f(-1)) /x+1 =1 donc la fonction est dérivable en 1 et -1.

En déduire les tangentes à la courbe C aux points d'abscisses 1 et -1
>> ici je bloque.

3) Démontrer que f est dérivable sur ]-1,1[ et déterminer sa dérivé f'.
>> pour la dérivé j'ai trouvé (2x²-x-1)/\/¯(1-x²) mais après je bloque

Merci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Vincent,

Tu as les dérivées en -1 et 1, cf tes calculs de limites.
Pour avoir les tangentes utilise la formule y = f'(-1)(x+1)+f(-1) id pour la tangente en 1.
Pour la dérivée vérifie le signe, moi j'ai des signes -

Sinon cela me semble correct

Bonne fin d'exercice

[SoS-Math(11)]

Re

Je viens de m'apercevoir que la dérivabilité en -1 et 1 n'a pas été bien étudiée.
Ce n'est pas : lim x->0 (f(x)-f(1)) /x-1 = -1 et lim x->0 (f(x)-f(-1)) /x+1 =1 mais la limite quand x tend vers -1 ou quand x tend vers 1 qu'il faut étudier.
Ce qui ne donne pas -1 et 1 mais d'autres limites et f n'est pas dérivable pour l'une des bornes.
Dans ce cas on dit qu'il y a une demi tangente verticale.

Bonne continuation

[Vincent]

Oups je me suis trompé dans les limites.
lim x ->-1 (f(x)-f(-1))/x+1 = inf donc f(x) n'est pas dérivable en -1 mais par contre elle est dérivable en 1 non ?
Donc il n'y a pas de tangente en -1 et mais 1 si ?

merci

[SoS-Math(11)]

Bonjour,

Tout à fait, comme la limite est plus l'infini, on a une demi tangente verticale en -1. Et en 1 une demi tangente dont l'équation est donnée par la formule habituelle. Ce ne sont pas des tangentes à proprement parler car l'intervalle est fermé et la notion de dérivabilité se définit sur un intervalle ouvert.

Bonne fin d'exercice

[Vincent]

Je n'arrive pas à trouver la tangente en 1 avec la formule f'(a)(x-a)+f(a) ça revient à diviser par 0 au niveau de la dérivé f' .
Je ne comprends plus rien . D'un côté la limite dit que la fonction est dérivable en 1 et lorsque je fais la tangente en 1 ça ne marche pas. Pourquoi ?

Merci

[SoS-Math(11)]

Bonsoir,

La limite de (f(x)-f(1))/(x-1) est égale à f'(1), on ne peut pas utiliser le formule de la dérivée qui n'est valable que sur ]-1 ; 1[ et pour laquelle il y a une division par 0.
La limite existe et on l'utilise pour appliquer la formule qui donne l'équation de la tangente.

Remarque : f'(x) peut s'écrire \(\frac{-(2x+1)sqrt(1-x^2)}{x+1}\) et dans ce cas il n'y a pas de division par 0.

Bon courage

[Vincent]

Bonjour,

Je n'ai n'est pas compris cette phrase : "La limite existe et on l'utilise pour appliquer la formule qui donne l'équation de la tangente".
On utilise bien la formule f'(a)(x-a)+f(a) ?

merci

[Vincent]

Finalement c'est ok pour la tangente en -1 et 1.

Pour montrer que f est dérivable sur ]-1,1[ :

-soit g(x)=(1-x²); g est dérivable sur R car c'est une fonction carré donc elle est dérivable [-1,1]
la fonction racine est dérivable sur ]0,+inf] donc la composée des deux fonctions est dérivable sur [-1,1]
-Soit c(x)= (1-x) une fonction affine ; c est dérivable sur R donc dérivable sur [-1,1]
Le produit de de deux fonctions dérivable sur [-1,1] est dérivable sur [-1,1].

C'est correct ?
merci

[SoS-Math(2)]

Bonjour,
c'est presque correct .

-soit g(x)=(1-x²); g est dérivable sur R car c'est une fonction carré donc elle est dérivable [-1,1]

Il faut dire : car c'est une fonction polynôme du second degré .......
Et préciser que ces valeurs sont dans R+*
Et attention aux bornes de l'intervalle. Relisez bien la question.
La fonction racine n'est pas dérivable en 0
Or quand x=1 ou x=-1, 1-x²=0....

Bon courage

[Vincent]

Bonjour ,

Je me suis trompé avec les bornes :


-soit g(x)=(1-x²); g est dérivable sur R car c'est une fonction polynôme du second degré donc elle est dérivable ]-1,1[.

soit v(x)la fonction racine, v est dérivable sur ]0,+inf[ donc elle est dérivable sur ]0,1[.

donc la composée des deux fonctions est dérivable sur ]-1,1[

-Soit c(x)= (1-x) une fonction affine ; c est dérivable sur R donc dérivable sur ]-1,1[

Le produit de de deux fonctions dérivable sur ]-1,1[ est dérivable sur ]-1,1[.

J'ai pas compris les deux autres points avec R+*.
1-x² est dérivable sur tout R non ?
merci

[SoS-Math(2)]

Vincent,
ce que vous avez mis est correct alors oubliez mes commentaires sur R+*
posons h(x) = 1-x²
h est effectivement dérivable sur R et quand x appartient à ]-1,1[ h(x) appartient à ]0,1]
Voilà pourquoi vous évoquez la dérivabilité de la fonction racine sur ]0,1]
Bon courage pour la suite

[Vincent]

C'est ok

Merci